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[交流] 祝圣誕節(jié)日快樂，散金300

題目：設(shè) $0<\alpha<\beta$ ，試計(jì)算下列廣義積分：

$I(\alpha,\beta)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{\alpha x}-e^{-\alpha x}}{e^{\beta x}-e^{-\beta x}}dx=?$

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1樓 2016-12-25 04:45:29

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alober

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令 $f(x)=\frac{\sinh tx}{\sinh x}$ ，因?yàn)楫?dāng)0 < t < 1時(shí) $\lim_{x \to \infty}f(x)=0$ ，所以 $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\alpha x}f(x)dx=2\pi i\sum_{k=1}^{\infty}Res_{z=z_k}e^{i\alpha z}f(z)$ ，其中 $z_k=k\pi i$ 。因此 $Res_{z=k\pi i}e^{i\alpha z}f(z)=e^{i\alpha k\pi i}\frac{\sinh t(k\pi i)}{(\sinh z)'}=e^{-\alpha k\pi}\frac{\sinh t(k\pi i)}{\cosh k\pi i}=(-1)^kie^{-\alpha k\pi}\sin kt\pi$ ，令 $\alpha=0$ ，于是 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\cos\alpha xdx=\Re(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\alpha x}f(x)dx)=\Re(2\pi i\sum_{k=1}^{\infty}Res_{z=z_k}e^{i\alpha z}f(z))=\Im(-2\pi\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^ke^{-\alpha k\pi}(\cos kt\pi+i\sin kt\pi))=-2\pi\Im(\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^ke^{ikt\pi-\alpha k\pi})=-2\pi\Im(\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^ke^{ikt\pi})=-2\pi\Im(\frac{1}{1+e^{it\pi}})=-2\pi\frac{-\sin t\pi}{2+2\cos t\pi}=\pi\frac{\sin t\pi}{1+\cos t\pi}$

令y=bx,t=a/b，則 $I=\frac{1}\int_{0}^{\infty}\frac{\sinh ty}{\sinh y}dy=\frac{1}{2b}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sinh ty}{\sinh y}dy=\frac{\pi\sin \frac{a}\pi}{2b(1+\cos \frac{a}\pi)}$

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304樓2016-12-25 14:13:08

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bsese

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3樓2016-12-25 04:54:49

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普通回帖

lsh19901125

新蟲 (初入文壇)

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2樓2016-12-25 04:51:59

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彈殼er

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5樓2016-12-25 05:12:25

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qiangzm

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圣誕節(jié)快樂

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6樓2016-12-25 05:36:34

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木單東月

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8樓2016-12-25 06:03:20

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zbli_li

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12樓2016-12-25 06:35:22

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石牛麻

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15樓2016-12-25 06:47:47

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562808766

金蟲 (正式寫手)

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18樓2016-12-25 07:02:08

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風(fēng)鈴761214

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21樓2016-12-25 07:08:39

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我是咸魚1

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24樓2016-12-25 07:15:40

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yanglijuan

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25樓2016-12-25 07:17:02

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nizenan

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橙紫123520

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29樓2016-12-25 07:24:21

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康定情歌

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30樓2016-12-25 07:28:56

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dong1104

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36樓2016-12-25 07:34:26

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xuwei6211

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37樓2016-12-25 07:36:16

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楓葉刀客

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41樓2016-12-25 07:40:42

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TsingJoe

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feixiaolin

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47樓2016-12-25 07:56:57

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[考研] 291求調(diào)劑 +5	Y-cap 2026-03-29	6/300	2026-03-29 13:18 by mumin1990
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