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Edstrayer

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一個(gè)復(fù)數(shù)不等式：

復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)的不等式001.gif

Let $0<\mid z\mid <1$ ,please proof :

$\frac{1}{4}\mid z\mid<\mid e^z-1\mid<\frac{7}{4}\mid z\mid$

[ Last edited by Edstrayer on 2014-4-29 at 19:35 ]

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1樓 2014-04-12 16:37:13

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hank612

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14樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-04-15 04:14:20
當(dāng)0<x<1時(shí)，
｜e^x-1｜=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}
            =x  \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}
            =x(1+\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!})
            &g ...

不妨檢查一下邏輯:

|e^x-1| >= x *(...).
當(dāng) x--> 1 時(shí), (...) =e-2, 然后你說:
所以不等式不能改進(jìn). 這有點(diǎn)風(fēng)馬牛不相及啊.

頂多說, 用你所述的放縮法, 不等式所能達(dá)到的最好程度.

定理: 當(dāng) |z|<1時(shí), |e^z -1| > (1-e^{-1}) |z|. 求證明. (由圖形可知, 定理成立).

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We_must_know. We_will_know.

15樓2014-04-15 04:25:00

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feixiaolin

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取z=x+iy
轉(zhuǎn)變成實(shí)函數(shù) sqrt((exp(2*x)-2*exp(x)*cos(y)+1)/(x^2+y^2)) 求極值？

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2樓2014-04-12 17:47:50

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dfsvdf

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2樓: Originally posted by feixiaolin at 2014-04-12 17:47:50
取z=x+iy
轉(zhuǎn)變成實(shí)函數(shù) sqrt((exp(2*x)-2*exp(x)*cos(y)+1)/(x^2+y^2)) 求極值？

不對(duì)。e^z-1的值為：

1.png

編輯：上面的內(nèi)容是錯(cuò)的，2樓的是對(duì)的

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3樓2014-04-12 18:06:13

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Edstrayer

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2樓: Originally posted by feixiaolin at 2014-04-12 17:47:50
取z=x+iy
轉(zhuǎn)變成實(shí)函數(shù) sqrt((exp(2*x)-2*exp(x)*cos(y)+1)/(x^2+y^2)) 求極值？

用求極值的方法不好解吧？
這個(gè)不等式可以改進(jìn)為：
設(shè)0<\mid z\mid<1，試證：
(3-e)\mid z\mid<\mid e^z-1\mid<(e-1)\mid z\mid.

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4樓2014-04-12 18:08:42

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