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Edstrayer

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例A 設(shè)數(shù)列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 滿足條件 $a_0=1,b_0=0$ 且

$\left\{\begin{array}{c}a_{n+1}=7a_n+6b_n-3\\b_{n+1}=8a_n+7b_n-4\end{array}\right.,n=0,1,2,\cdots$

試證： $a_n(n=0,1,2,\cdots)$ 是完全平方數(shù)。

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1樓 2014-06-26 07:35:40

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hank612

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7樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-26 15:48:43
你的意思是：
a_0=1^2,a_1=2^2,a_{n+1}=(4\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}})^2(n\geq 1)
a_2=49=7^2=(4\times 2-1)^2
a_3=676=26^2=(4\times 7-2)^2
a_4=9409=97^2=(4\times 26-7)^2
a_5=131044=362^2=(4\times 97 ...

由萬能的歸納法可以證明, 若 $A=2+\sqrt{3}, B=2-\sqrt{3}$ , 那么,
$a_n=(\frac{A^n+B^n}{2})^2, b_n=\frac{(A^{2n}-B^{2n})\sqrt{3}}{6}$ . 這樣一來應(yīng)該可以證明你要的結(jié)果.

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We_must_know. We_will_know.

15樓2014-06-27 01:45:37

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仙木映月

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得到an從第三項(xiàng)開始的遞推公式了：a[n+1]=(a[n]*4-a[n-1])^2;
驗(yàn)證了a[3]到a[6]都是對(duì)的。

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Hardtosay.

2樓2014-06-26 08:16:58

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peterflyer

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peterflyer

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使用Z變換即可解出an、bn與n的關(guān)系表達(dá)式，由此決定問題命題的成立與否。

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3樓2014-06-26 09:27:07

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2樓: Originally posted by 仙木映月 at 2014-06-26 08:16:58
得到an從第三項(xiàng)開始的遞推公式了：a=(a*4-a)^2;
驗(yàn)證了a到a都是對(duì)的。

直接計(jì)算可以得到：

$\left\{\begin{array}{c}a_0=1\\b_0=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a_1=4\\b_1=4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a_2=49\\b_2=56\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a_3=676\\b_3=780\end{array}\right.$

但是， $a_3\neq(4a_2-a_1)^2(since 676=26^2\neq(4\times 49-4)^2)$ ，這表明2樓給出的遞推公式不正確�！�

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4樓2014-06-26 11:05:08

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