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題目：設(shè)x，y，z是正實數(shù)，且滿足 $xy+yz+zx=1$ ，試證：

$xyz(x+y)(y+z)(z+x)-(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)=\frac{1}{2}\left((1-x^2)(y-z)^2+(1-y^2)(z-x)^2+(1-z^2)(x-y)^2\right)$

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1樓 2016-06-06 04:26:52

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Edstrayer: 金幣+5, 謝謝參與 2016-06-07 01:32:18

$xyz(x+y)(y+z)(x+z)-(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)=(xz+yz)(xy+xz)(xy+yz)-(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)=(1-xy)(1-xz)(1-yz)-(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)=x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz-(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2-xy^2z-x^2yz-xyz^2)=\frac{(x-y)^2}{2}+\frac{(y-z)^2}{2}+\frac{(x-z)^2}{2}-\frac{(xy-xz)^2}{2}-\frac{(xz-yz)^2}{2}-\frac{(xy-yz)^2}{2}=....$

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2樓2016-06-06 17:21:29

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引用回帖:

2樓: Originally posted by 0404600213 at 2016-06-06 17:21:29
https://latex.codecogs.com/gif.l ... mp;amp;plus;z)-(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)=(xz+yz)(xy+xz)(xy+yz)-(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)=(1-xy)(1-xz)(1-yz)-(1-x^ ...

要進(jìn)一步地證明不等式：

$(1-x^2)(y-z)^2+(1-y^2)(z-x)^2+(1-z^2)(x-y)^2\geqslant 0$

該如何證明呢？

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3樓2016-06-07 01:37:14

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暫時只能證明x,y,z至多只有一個大于1

另外約束條件可以配方成
(x+y-z)2+(x-y+z)2+(x-y-z)2=2

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4樓2016-06-07 09:26:25

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hank612

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引用回帖:

4樓: Originally posted by 0404600213 at 2016-06-07 09:26:25
暫時只能證明x,y,z至多只有一個大于1

另外約束條件可以配方成
(x+y-z)2+(x-y+z)2+(x-y-z)2=2

你其實無意中已經(jīng)說出答案了阿

如果有兩個大于1，比如x,y, 那么 x 乘以 y 已經(jīng)大于1。

如果恰好只有一個大于1，那么恒等式左邊是一個正數(shù)減去一個負(fù)數(shù)，自然大于0

如果三個都小于1，那么恒等式右邊每一項都是正數(shù)，自然大于0.

所以二樓的證明才是關(guān)鍵！

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We_must_know. We_will_know.

5樓2016-06-07 11:25:09

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引用回帖:

5樓: Originally posted by hank612 at 2016-06-07 11:25:09
你其實無意中已經(jīng)說出答案了阿

如果有兩個大于1，比如x,y, 那么 x 乘以 y 已經(jīng)大于1。

如果恰好只有一個大于1，那么恒等式左邊是一個正數(shù)減去一個負(fù)數(shù)，自然大于0

如果三個都小于1，那么恒等式右邊每一 ...

我一直在考慮坐標(biāo)變換或者三角代換……

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6樓2016-06-07 14:04:37

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引用回帖:

是的，在約束條件xy+yz+zx=1(x>0,y>0,z>0)下，不等式

$(1-x^2)(y-z)^2+(1-y^2)(z-x)^2+(1-z^2)(x-y)^2\geqslant 0$

與不等式：

$xyz(x+y)(y+z)(z+x)\geqslant(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)$

相互等價，彼此可互推。

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7樓2016-06-08 03:36:00

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小木蟲: 金幣+0.5, 給個紅包，謝謝回帖
Edstrayer: 金幣+5, thank 2016-06-09 02:35:48

我就只會硬算。。。

不等式.png

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8樓2016-06-08 20:39:09

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