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Edstrayer

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Exercise $\hspace{0.5cm}$ Please proof by two kind of method

$3\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{k(k+1)}{2}\right)^3=\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^3+2\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^4$

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青蔥歲月圣誕夜，浪漫歌舞迎新年。

1樓 2016-08-17 04:18:09

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wurongjun

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是不是哪里寫錯啦!?

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2樓2016-08-17 06:31:23

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Mr__Right

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2樓: Originally posted by wurongjun at 2016-08-17 06:31:23
是不是哪里寫錯啦!?

可能你把指數(shù)的位置看錯了。問題沒錯。

數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)該算一個。

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文章乃身外之物,要多考慮編輯、審稿人和讀者的感受。

3樓2016-08-17 13:04:18

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wurongjun

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3樓: Originally posted by Mr__Right at 2016-08-17 13:04:18
可能你把指數(shù)的位置看錯了。問題沒錯。

數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)該算一個。...

果然!so sorry!

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4樓2016-08-17 16:13:15

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用歸納法（暫時只會這個）驗證了一下，細(xì)節(jié)就不寫了，大家都會的。
問題是：右邊式子第一項應(yīng)該是負(fù)號？

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強悍的老民科

5樓2016-08-17 16:39:55

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i維數(shù)

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Edstrayer: 金幣+5 2016-08-19 02:33:36

直接計算也可以，不過計算量頗大。。。

恒等式.png

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hank612

6樓2016-08-18 22:56:31

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hank612

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Edstrayer: 金幣+5 2016-08-19 19:18:29

引用回帖:

6樓: Originally posted by i維數(shù) at 2016-08-18 22:56:31
直接計算也可以，不過計算量頗大。。。

恒等式.png

@i維數(shù) 的計算功力深厚無比，大贊。

我搗鼓一個幾乎不需要計算的思路，畫蛇添足哈。

假設(shè)有m串糖葫蘆，每串上有(n+2)個山楂，樓主可以在每串上隨便挑三顆吃，于是有
${\binom{n+2}{3}}^m$ 種吃法。

當(dāng)然，我們可以假定在這m串中，最大的序號等于(k+2), 其中1<=k<=n. 那么會有m種子情況。

情況一，m串的最大序號都等于(k+2), 那么每串可以挑的吃法只剩下 $\binom{k+1}{2}$ 了，于是情況一總共有 ${\binom{k+1}{2}}^m$ 種。

情況二， m串中恰好有(m-1)串的最大序號等于(k+2). 那么先挑一串最大序號小于等于(k+1)的，該串有 $\binom{k+1}{3}$ 種吃法，剩下的每串均有 $\binom{k+1}{2}$ 。于是情況二總共有 $\binom{m}{1}\cdot \binom{k+1}{3}\cdot {\binom{k+1}{2}}^{m-1}$ 種。

。。。
情況j, m串中恰好有(m-j+1)串的最大序號等于(k+2), 有上面分析，這種情況下有 $\binom{m}{j-1}\cdot {\binom{k+1}{3}}^{j-1}\cdot {\binom{k+1}{2}}^{m-j+1}$ 種吃法。

換句話說，有組合恒等式
${\binom{n+2}{3}}^m=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}\binom{m}{j}{\binom{k+1}{3}}^{j} {\binom{k+1}{2}}^{m-j}$

注意到 $\binom{k+1}{3}=\binom{k+1}{2}\frac{k-1}{3}$ , 恒等式還可以寫成
${\binom{n+2}{3}}^m=\sum_{k=1}^{n}{\binom{k+1}{2}}^{m}\sum_{j=0}^{m-1}\binom{m}{j}\left(\frac{k-1}{3}\right)^{j}$

讓m=1, 就有 $\sum_{k=1}^n \frac{n(n+1)}{2}=\binom{n+2}{3}$ ;

讓m=3, 就有 ${\binom{n+2}{3}}^3=\sum_{k=1}^{n}{\binom{k+1}{2}}^{3}\frac{k^2+k+1}{3}$

這經(jīng)過變形，恰好就是 @Edstrayer 版主大神的恒等式。

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We_must_know. We_will_know.

7樓2016-08-19 13:05:42

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i維數(shù)

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7樓: Originally posted by hank612 at 2016-08-19 13:05:42
i維數(shù) 的計算功力深厚無比，大贊。

我搗鼓一個幾乎不需要計算的思路，畫蛇添足哈。

假設(shè)有m串糖葫蘆，每串上有(n+2)個山楂，樓主可以在每串上隨便挑三顆吃，于是有
{\binom{n+2}{3}}^m種吃法。

當(dāng)然， ...

真是汗顏吶。。。我的計算都是在軟件的輔助下完成的

。。反倒是大神你的方法真是絕妙！這構(gòu)造組合模型的方法太難想到啦，大神你是怎么想到這樣證明的？

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8樓2016-08-19 14:43:42

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8樓: Originally posted by i維數(shù) at 2016-08-19 14:43:42
真是汗顏吶。。。我的計算都是在軟件的輔助下完成的

。。反倒是大神你的方法真是絕妙！這構(gòu)造組合模型的方法太難想到啦，大神你是怎么想到這樣證明的？...

先更正一下錯誤，當(dāng)m=1, 應(yīng)該是 $\sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2}=\binom{n+2}{3}$

@i維數(shù) 其實你走的才是正路。假如 Edstrayer 版主大神布置了考題，你早就給出答案交卷了，我還在網(wǎng)上七搜八搜看哪里有答案或提示什么的

當(dāng)m=1時，它是你所提到的朱世杰 Chu identity 的特例而已。我去網(wǎng)上搜了Chu identity的組合說明 (個人認(rèn)為組合證明不貼切，僅僅是說明而已，不牽扯計算)，幾乎是照貓畫虎的給出了上面的答案

另外，也不要神話組合說明，在代數(shù)學(xué)家眼中，是最顯然不過的事實而已。不信，你看另外一個證明：
${\binom{N+t}{t}}^m=\sum_{j=0}^{N} \left({\binom{j+t}{t}}^m-{\binom{j-1+t}{t}}^m\right)$
這一點花樣都沒有吧。

那么繼續(xù)，它又等于
$\sum_{j=0}^N {\binom{j+t-1}{t-1}}^m\left((1+\frac{j}{t})^m-(\frac{j}{t})^m\right)$

現(xiàn)在取 N=n-1, t=3, m=3, k=j+1, 這就是上面m=3時的那個恒等式，或者就是 @Edstrayer 版主大神布置的練習(xí)題。

這也是本版許多大牛最喜歡的證明方式： “證明：顯然”。你如果看了上面的過程，是否覺得顯然呢？

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9樓2016-08-19 22:27:12

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topsolver

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求導(dǎo)計算，降低階次

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10樓2016-08-21 01:47:11

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