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Edstrayer版主 (著名寫手)
方寸斗室小天地正氣迷漫大世界
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[交流]
一個初等數(shù)論的小題
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| ExA（10分）設n是不小于28的偶完全數(shù)，試證：n的末尾兩位數(shù)字必然是28，16，36，56，76，96六種情況之一。 |
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feixiaolin
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2樓2014-04-17 22:42:00
Edstrayer
版主 (著名寫手)
方寸斗室小天地正氣迷漫大世界
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3樓2014-04-18 01:01:09
hank612
至尊木蟲 (著名寫手)
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Feixiaolin 大神可能想得太復雜了. 引理1. 偶完全數(shù)一定是形如 n=2^{p-1} *(2^p-1), 其中p是素數(shù). (證明: Euler) 引理2. 當p >= 3 時, 4 整除 n. 引理 3. 當 p 是 4k+1型奇數(shù)時, 2^{p-1} = (15+1)^k =1 (mod 5), 2^p-1 = 2* (15+1)^k -1 = 1 (mod 5), 所以 n=1 (mod 5) 引理4. 當p是4k+3型奇數(shù)時, 2^{4 k+2} * (2^{4k+3} -1) (mod 25) =4*(15+1)^k *[ 8*(15+1)^k -1] (mod 25) (利用Newton二項式展開) =4* (15k+1) *[ 8*(15k+1)-1 ] (mod 25) =28 (mod 25). 引理5. 由中國剩余定理, 滿足 n=0 (mod 4), n=1 (mod 5) 當且僅當 n=16, 36, 56, 76, 96 (mod 100) 依然由中國剩余定理, 滿足 n=0 (mod 4), n=28 (mod 25) 當且僅當 n=28 (mod 100). 結論: 如果 n=2^{p-1}*(2^p-1), 其中 p是大于1的奇數(shù), 那么 n=28, 16, 36, 56, 76, 96 (mod 100) |
4樓2014-04-18 04:31:50
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