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題目：設(shè) $0<\alpha<\beta$ ，試計(jì)算下列廣義積分：

$I(\alpha,\beta)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{\alpha x}-e^{-\alpha x}}{e^{\beta x}-e^{-\beta x}}dx=?$

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maojun1998

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1樓 2016-12-25 04:45:29

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alober

木蟲 (著名寫手)

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小木蟲: 金幣+0.5, 給個(gè)紅包，謝謝回帖
Edstrayer: 金幣+10, 好漂亮的證法，thank 2016-12-26 01:23:06

引用回帖:

309樓: Originally posted by hylpy at 2016-12-25 18:35:07
我沒想出直接積分的辦法....

不太清楚什么是直接積分，是不是只用實(shí)積分？這樣用一些函數(shù)的性質(zhì)也可以算。
因?yàn)?img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{\sinh x}=2\sum_{k \in \mathbb{Z}}e^{-(2k+1)x}">，所以 $bI=2\sum_{k \in \mathbb{Z^*}}\int_{0}^{+\infty}\sinh ty e^{-(2k+1)y}dy$ ，令 $u = \sinh ty, v'=e^{-(2k+1)y}$ ，則 $u' = t\cosh ty, v = -\frac{1}{2k+1}e^{-(2k+1)y}$ ，所以 $\int_{0}^{+\infty}\sinh ty e^{-(2k+1)y}dy = \frac{t}{2k+1}\int_{0}^{+\infty}\cosh ty e^{-(2k+1)y}dy$ 。令 $u = \cosh ty$ ，則 $u' = t\sinh ty$ ，所以 $\int_{0}^{+\infty}\sinh ty e^{-(2k+1)y}dy = \frac{t}{2k+1}(\frac{1}{2k+1}+\frac{t}{2k+1}\int_{0}^{\infty}\sinh tye^{-(2k+1)y}dy)$ ，因此 $\int_{0}^{\infty}\sinh tye^{-(2k+1)y}dy = \frac{t}{(2k+1)^2-t^2}$ ，于是 $\frac{bI}{2} = \sum_{k \in \mathbb{Z^*}}\frac{t}{(2k+1)^2-t^2} = \frac{1}{2}\sum_{k \in \mathbb{Z^*}}(\frac{1}{2k+1-t}-\frac{1}{2k+1+t}) = \frac{1}{4}\sum_{k \in \mathbb{Z^*}}(\frac{1}{k+\frac{1-t}{2}}-\frac{1}{k+\frac{1+t}{2}}) = \frac{1}{4}\lim_{s \to 1}(\zeta(s,\frac{1-t}{2})-\zeta(s,\frac{1+t}{2})) = \frac{1}{4}((-\psi(\frac{1-t}{2})+\frac{1}{s-1})-(-\psi(\frac{1+t}{2})+\frac{1}{s-1})) = \frac{1}{4}(\psi(1-\frac{1-t}{2})-\psi(\frac{1-t}{2})) = \frac{\pi\cot \pi\frac{1-t}{2}}{4} = \frac{\pi\tan\frac{t\pi}{2}}{4}$

于是 $I = \frac{\pi\tan\frac{t\pi}{2}}{2b} = \frac{\pi\tan\frac{a\pi}{2b}}{2b}$

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hylpy

310樓2016-12-25 21:39:35

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lsh19901125

新蟲 (初入文壇)

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2樓2016-12-25 04:51:59

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bsese

至尊木蟲 (文壇精英)

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3樓2016-12-25 04:54:49

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彈殼er

木蟲 (正式寫手)

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同樂

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5樓2016-12-25 05:12:25

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zhz洪4樓

2016-12-25 05:03 回復(fù)

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胡小柚7樓

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xiaodatou9樓

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來咯哄孩子10樓

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我們的十九13樓

2016-12-25 06:45 回復(fù)

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longwave14樓

2016-12-25 06:46 回復(fù)

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