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數(shù)學(xué)詭異新蟲 (小有名氣)
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徹底推翻希爾伯特無窮旅館的詭辯 已有21人參與
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德國大數(shù)學(xué)家希爾伯特為了說明集合論中一一對應(yīng)的問題，曾經(jīng)講了一個叫做無窮旅館的故事，簡述如下：有一個無窮旅館，內(nèi)設(shè)有無窮多個房間，有一天，旅館內(nèi)所有的房間全都住滿了客人，但是又來了一位旅客，一定要在旅館中住下，于是聰明的老板想了一個絕妙的方法，讓1號房間的客人搬到2號房間，2號房間的客人搬到3號房間，3號房間的客人搬到4號房間……，這樣，新來的客人住進了1號房間，而原來的客人也全都有了房間。 這個故事剛一聽起來感覺非常荒謬，但是人們又不能從中找出任何邏輯上的錯誤，于是，只好接受一個看起來荒謬的事實。 那么，這個故事真的沒有任何邏輯矛盾嗎？當然有，其實這個故事是耍了一個無窮的邏輯陷阱，因為這個n號客人搬到n+1號房間的過程是無窮無盡的，誰也無法驗證最后究竟有沒有客人沒有房間住。正因為這無窮無盡的過程無法驗證，所以希爾伯特的詭辯才能得逞。 所以，只要能夠證明有一個客人沒有房間住，就能徹底推翻希爾伯特的謬論。 下面建立兩個數(shù)學(xué)模型，來證明一定有一個人沒有房間住。 第一個數(shù)學(xué)模型：還是那個無窮旅館，但是這一次，旅館中只有一位客人，假設(shè)這位客人叫小A，他住在0號房間，小A閑得無聊，忽然想要參觀一下旅館中的所有房間，于是他設(shè)計出來了一個方法，使得他能夠在一分鐘的時間里參觀完所有的房間：當時間為1/2分鐘時，小A進入1號房間，當時間為3/4分鐘時，小A進入2號房間，當時間為7/8分鐘時，小A進入3號房間……依此類推，也就是在1分鐘的時間里，小A會進入無窮多個房間，也就是將旅館中所有的房間全都參觀一遍。 現(xiàn)在的問題是：當時間為1分鐘時，小A在哪一個房間里？ 可以證明，當時間為1分鐘時，小A不在任何一個房間里，因為，假設(shè)1分鐘時小A在G號房間里，因為G是一個自然數(shù)，那么根據(jù)皮亞諾公理，G的后繼G+1也一定是一個自然數(shù)，同理：G+2，G+3，G+4……等全都是自然數(shù)，說明當時間為1分鐘時，小A還有無窮多的房間沒有參觀到，這與小A能在1分鐘的時間里參觀完所有的房間相矛盾。 所以，當時間為1分鐘時，小A不在任何一個房間里。 下面給出第二個數(shù)學(xué)模型：還是那個無窮旅館，還是只有小A住在0號房間里（其余的所有房間全是空的），這時忽然來了無窮多個客人，要在旅館中入住，旅館老板為了維持秩序，讓所有的客人按照自然數(shù)0，1，2，3……的順序依次在門外排好序列，然后按照如下的方法依次進入旅館房間：當時間為1/2分鐘時，0號客人進入0號房間，則小A進入1號房間，當時間為3/4分鐘時，0號客人進入1號房間，1號客人進入0號房間，則小A進入2號房間，當時間為7/8分鐘時，0號客人進入2號房間，1號客人進入1號房間，2號客人進入0號房間，則小A進入3號房間……依此類推。 可以證明：當時間為1分鐘時，所有的自然數(shù)編號的客人全都住進了房間里。 但現(xiàn)在出現(xiàn)了兩個問題：（1）：小A住在哪個房間？（2）：住在0號房間的客人的自然數(shù)編號是什么？ 由模型（1）可知：當時間為1分鐘時，小A不在任何一個房間里，也就是說小A沒有房間住。由于這個數(shù)學(xué)模型與希爾伯特的原數(shù)學(xué)模型是等價的，所以也就推翻了希爾伯特的所有客人全都有房間住的謬論。 第（2）個問題：0號房間住的客人的編號不是任何一個自然數(shù)，因為，假設(shè)0號房間中住的客人的編號為E，因為E是一個自然數(shù)，那么根據(jù)皮亞諾公理，E的后繼E+1也是一個自然數(shù)，如果0號房間中住的客人的編號為E，則E+1，E+2，E+3……等無窮多個客人全都沒有房間可住，從而說明無窮旅館的房間數(shù)是有限的，矛盾。 |
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