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小木蟲論壇-學術科研互動平臺 » 專業(yè)學科區(qū) » 數學 » 考博考研 » 一個級數求和的問題？
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一個級數求和的問題？
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hank612
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小木蟲: 金幣+0.5, 給個紅包，謝謝回帖
Edstrayer: 金幣+10, 很巧妙的證法，其實這幾個題目也可以通過直接求和計算論證。 2015-08-19 07:41:36
小木蟲: 金幣+0.5, 給個紅包，謝謝回帖
Edstrayer: 金幣+10, 很巧妙的證法，其實這幾個題目也可以通過直接求和計算論證。 2015-08-19 07:41:36
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我自己看了一下以前的回復, 不知所云. 數學不應該是這樣的, 而是簡單而深刻的. 我們可以把Edstrayer的題目推廣, 然后就知道題目真正想問的是什么了. 設n>1, 引理: 若 證明: 定義而已. 求和針對所有的(x1,...,xm), xi互不相同, 與n互素. 那么(a*x1,..,a*xm) 同樣滿足a*xi依舊互不相同, 與n互素. 對所有的(a*x1,..,a*xm)求和,自然就 利用這個引理, 當n=p素數, 當n=p素數, m=3, f(x1,x2,x3)=x1*x2*x3, 立刻得到 Edstrayer 的定理. (包括一樓,二樓的, 同時成立), 并且知道p=5時定理依然成立. |
7樓2015-08-19 01:42:37
Edstrayer
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2樓2014-04-20 07:39:57
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小木蟲: 金幣+0.5, 給個紅包，謝謝回帖
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引理1： 如果p>2是素數， (p-1)不整除正整數n, 那么 Sum_{1<= k <= p-1} k^n =0 (mod p) 證明：mod p 有原根 （可以參考https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%9F%E6%A0%B9)，設為c, 即c的階為(p-1). 由n的條件知 c^n 不等于 1 (mod p). 然而 Sum_{1<= k <= p-1} k^n = c^n Sum_{1<= k <= p-1} k^n (mod p) 所以Sum_{1<= k <= p-1} k^n =0 (mod p) 引理2: Sum_{1<=i, j, k <=p-1} ijk =3! * Sum_{1<=i <j <k <= p-1} ijk + 3 * Sum_{1<= i ，k <= p-1} i^2*k 證明：好像是顯然的，但講不清楚， 略。 由引理1和引理2， 加上 3！=6 (mod p) 當 p>5時可逆， 所以命題成立 p | Sum_{1<=i <j <k <= p-1} ijk. |
3樓2014-04-20 07:58:01
hank612
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4樓2014-04-20 08:04:19
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