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數(shù)學(xué)詭異新蟲 (小有名氣)
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徹底推翻希爾伯特?zé)o窮旅館的詭辯 已有21人參與
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德國(guó)大數(shù)學(xué)家希爾伯特為了說(shuō)明集合論中一一對(duì)應(yīng)的問(wèn)題，曾經(jīng)講了一個(gè)叫做無(wú)窮旅館的故事，簡(jiǎn)述如下：有一個(gè)無(wú)窮旅館，內(nèi)設(shè)有無(wú)窮多個(gè)房間，有一天，旅館內(nèi)所有的房間全都住滿了客人，但是又來(lái)了一位旅客，一定要在旅館中住下，于是聰明的老板想了一個(gè)絕妙的方法，讓1號(hào)房間的客人搬到2號(hào)房間，2號(hào)房間的客人搬到3號(hào)房間，3號(hào)房間的客人搬到4號(hào)房間……，這樣，新來(lái)的客人住進(jìn)了1號(hào)房間，而原來(lái)的客人也全都有了房間。 這個(gè)故事剛一聽起來(lái)感覺(jué)非�；闹�，但是人們又不能從中找出任何邏輯上的錯(cuò)誤，于是，只好接受一個(gè)看起來(lái)荒謬的事實(shí)。 那么，這個(gè)故事真的沒(méi)有任何邏輯矛盾嗎？當(dāng)然有，其實(shí)這個(gè)故事是耍了一個(gè)無(wú)窮的邏輯陷阱，因?yàn)檫@個(gè)n號(hào)客人搬到n+1號(hào)房間的過(guò)程是無(wú)窮無(wú)盡的，誰(shuí)也無(wú)法驗(yàn)證最后究竟有沒(méi)有客人沒(méi)有房間住。正因?yàn)檫@無(wú)窮無(wú)盡的過(guò)程無(wú)法驗(yàn)證，所以希爾伯特的詭辯才能得逞。 所以，只要能夠證明有一個(gè)客人沒(méi)有房間住，就能徹底推翻希爾伯特的謬論。 下面建立兩個(gè)數(shù)學(xué)模型，來(lái)證明一定有一個(gè)人沒(méi)有房間住。 第一個(gè)數(shù)學(xué)模型：還是那個(gè)無(wú)窮旅館，但是這一次，旅館中只有一位客人，假設(shè)這位客人叫小A，他住在0號(hào)房間，小A閑得無(wú)聊，忽然想要參觀一下旅館中的所有房間，于是他設(shè)計(jì)出來(lái)了一個(gè)方法，使得他能夠在一分鐘的時(shí)間里參觀完所有的房間：當(dāng)時(shí)間為1/2分鐘時(shí)，小A進(jìn)入1號(hào)房間，當(dāng)時(shí)間為3/4分鐘時(shí)，小A進(jìn)入2號(hào)房間，當(dāng)時(shí)間為7/8分鐘時(shí)，小A進(jìn)入3號(hào)房間……依此類推，也就是在1分鐘的時(shí)間里，小A會(huì)進(jìn)入無(wú)窮多個(gè)房間，也就是將旅館中所有的房間全都參觀一遍。 現(xiàn)在的問(wèn)題是：當(dāng)時(shí)間為1分鐘時(shí)，小A在哪一個(gè)房間里？ 可以證明，當(dāng)時(shí)間為1分鐘時(shí)，小A不在任何一個(gè)房間里，因?yàn)�，假設(shè)1分鐘時(shí)小A在G號(hào)房間里，因?yàn)镚是一個(gè)自然數(shù)，那么根據(jù)皮亞諾公理，G的后繼G+1也一定是一個(gè)自然數(shù)，同理：G+2，G+3，G+4……等全都是自然數(shù)，說(shuō)明當(dāng)時(shí)間為1分鐘時(shí)，小A還有無(wú)窮多的房間沒(méi)有參觀到，這與小A能在1分鐘的時(shí)間里參觀完所有的房間相矛盾。 所以，當(dāng)時(shí)間為1分鐘時(shí)，小A不在任何一個(gè)房間里。 下面給出第二個(gè)數(shù)學(xué)模型：還是那個(gè)無(wú)窮旅館，還是只有小A住在0號(hào)房間里（其余的所有房間全是空的），這時(shí)忽然來(lái)了無(wú)窮多個(gè)客人，要在旅館中入住，旅館老板為了維持秩序，讓所有的客人按照自然數(shù)0，1，2，3……的順序依次在門外排好序列，然后按照如下的方法依次進(jìn)入旅館房間：當(dāng)時(shí)間為1/2分鐘時(shí)，0號(hào)客人進(jìn)入0號(hào)房間，則小A進(jìn)入1號(hào)房間，當(dāng)時(shí)間為3/4分鐘時(shí)，0號(hào)客人進(jìn)入1號(hào)房間，1號(hào)客人進(jìn)入0號(hào)房間，則小A進(jìn)入2號(hào)房間，當(dāng)時(shí)間為7/8分鐘時(shí)，0號(hào)客人進(jìn)入2號(hào)房間，1號(hào)客人進(jìn)入1號(hào)房間，2號(hào)客人進(jìn)入0號(hào)房間，則小A進(jìn)入3號(hào)房間……依此類推。 可以證明：當(dāng)時(shí)間為1分鐘時(shí)，所有的自然數(shù)編號(hào)的客人全都住進(jìn)了房間里。 但現(xiàn)在出現(xiàn)了兩個(gè)問(wèn)題：（1）：小A住在哪個(gè)房間？（2）：住在0號(hào)房間的客人的自然數(shù)編號(hào)是什么？ 由模型（1）可知：當(dāng)時(shí)間為1分鐘時(shí)，小A不在任何一個(gè)房間里，也就是說(shuō)小A沒(méi)有房間住。由于這個(gè)數(shù)學(xué)模型與希爾伯特的原數(shù)學(xué)模型是等價(jià)的，所以也就推翻了希爾伯特的所有客人全都有房間住的謬論。 第（2）個(gè)問(wèn)題：0號(hào)房間住的客人的編號(hào)不是任何一個(gè)自然數(shù)，因?yàn)�，假設(shè)0號(hào)房間中住的客人的編號(hào)為E，因?yàn)镋是一個(gè)自然數(shù)，那么根據(jù)皮亞諾公理，E的后繼E+1也是一個(gè)自然數(shù)，如果0號(hào)房間中住的客人的編號(hào)為E，則E+1，E+2，E+3……等無(wú)窮多個(gè)客人全都沒(méi)有房間可住，從而說(shuō)明無(wú)窮旅館的房間數(shù)是有限的，矛盾。 |
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8樓2017-04-04 12:38:09
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無(wú)窮大的定義：設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義。如果對(duì)于任意給定的正數(shù)M（無(wú)論它多么大），總存在正數(shù)δ，只要x適合不等式0<|x-x0|<δ，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)總滿足不等式|f(x)|>M，則稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)的無(wú)窮大。 如果0號(hào)房間中住的客人編號(hào)為E，那么有E+1，那么E就不是無(wú)窮大，這樣你本身就是有限的，自然推出的是有限。 無(wú)窮大不是一個(gè)很大的數(shù)，沒(méi)有數(shù)比無(wú)窮大更大。 |
2樓2017-04-02 23:33:59
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3樓2017-04-03 12:16:47
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4樓2017-04-03 12:42:57
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