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1不是瑕點(diǎn),0是，可判斷積分收斂； 結(jié)果是1/81 (-4 \[Pi]^2 - 6 PolyGamma[1, 1/3] + 3 PolyGamma[1, 2/3]) ,其中PolyGamma是 gamma函數(shù)對數(shù)的導(dǎo)數(shù); 結(jié)果由Mathematica計算出來. 手工推導(dǎo)可以朝著這個方向，但是不是一件易事。
Lim x-->0{Lnx/[1-x^3]}=∞；Lim x-->1{Lnx/[1-x^3]}=-1/3； 因此x=0是間斷點(diǎn)，而x=1不是。 由于Integral{lnx*dx,0,1}=-1 綜合上述，故原廣義積分存在。
用復(fù)變函數(shù)做，構(gòu)造閉路，用圍道積分，可以算出結(jié)果，為 -1.121733014
可以考慮用含參數(shù)積分，設(shè) I(b)=int(ln(1+b(x-1))/(1-x^3),x=0..1),則b=1即為所求，即I=I(1)，b=0時I(0)=0 所以I=I(1)-I(0)=int(I'(b),b=0..1);當(dāng)然I(b)的導(dǎo)數(shù)含有對數(shù)，也不好積分
[latex]\int_0^1\frac{\ln x}{1-x^3}dx=?[/latex]
六樓的思路是對的 但是 求導(dǎo)數(shù)是對b求導(dǎo) 不是對x求導(dǎo)
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1不是瑕點(diǎn),0是，可判斷積分收斂；
結(jié)果是1/81 (-4 \[Pi]^2 - 6 PolyGamma[1, 1/3] + 3 PolyGamma[1, 2/3]) ,其中PolyGamma是 gamma函數(shù)對數(shù)的導(dǎo)數(shù);
結(jié)果由Mathematica計算出來. 手工推導(dǎo)可以朝著這個方向，但是不是一件易事。
Lim x-->0{Lnx/[1-x^3]}=∞；Lim x-->1{Lnx/[1-x^3]}=-1/3；
因此x=0是間斷點(diǎn)，而x=1不是。
由于Integral{lnx*dx,0,1}=-1
綜合上述，故原廣義積分存在。
因為 Integrate_{0}^1 ln(x)/(1-x^a) dx
= - Sum_{k=0}^{Infinity} (ak+1)^{-2},
所以積分收斂，并且值為 -1.1217330139。。。
emuch005.jpg
，
用復(fù)變函數(shù)做，構(gòu)造閉路，用圍道積分，可以算出結(jié)果，為 -1.121733014
可以考慮用含參數(shù)積分，設(shè)
I(b)=int(ln(1+b(x-1))/(1-x^3),x=0..1),則b=1即為所求，即I=I(1)，b=0時I(0)=0
所以I=I(1)-I(0)=int(I'(b),b=0..1);當(dāng)然I(b)的導(dǎo)數(shù)含有對數(shù)，也不好積分
[latex]\int_0^1\frac{\ln x}{1-x^3}dx=?[/latex]
六樓的思路是對的
但是 求導(dǎo)數(shù)是對b求導(dǎo) 不是對x求導(dǎo)