我來換個話題

設(shè) k 是非負整數(shù). 可以證明(不難看出), (k!)^2 mod(2k+1) 只有三種可能, 0, 1 或者 -1.

問: 當k取什么值時, 模為0 ?
當k取什么值時, 模為1 ?

引用回帖:

2樓: Originally posted by hank612 at 2014-05-07 04:34:32
我來換個話題

設(shè) k 是非負整數(shù). 可以證明(不難看出), (k!)^2 mod(2k+1) 只有三種可能, 0, 1 或者 -1.

問: 當k取什么值時, 模為0 ?
當k取什么值時, 模為1 ?

當2k+1為合數(shù)時，[latex](k!)^2\equiv 0(mod2k+1)[/latex]

引用回帖:

3樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-05-07 09:19:03
當2k+1為合數(shù)時，(k!)^2\equiv 0(mod2k+1)...

由于[latex]n(n+2)(n!)^2=((n+1)!)^2-(n!)^2[/latex], 有限和只有最后一項和最前一項， 即[latex]((\frac{p-1}{2})!)^2-1[/latex]

注意到 [latex]((\frac{p-1}{2})!)^2 \equiv (\frac{p-1}{2})!\cdot -(p-1)\cdot -(p-2)\dots -(p-\frac{p-1}{2}) \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}}(p-1)! (\mod p)[/latex]

當p是個奇數(shù)時，如果 p是合數(shù)，那么[latex](p-1)!\equiv 0 (\mod p)[/latex], 如果p是
素數(shù)， 那么[latex](p-1)!\equiv -1 (\mod p)[/latex] 這是Wilson定理，
https://en.wikipedia.org/wiki/Wilson%27s_theorem

由于樓主的[latex]p\equiv 3 (\mod 4)[/latex]奇素數(shù)， 于是 [latex](-1)^{\frac{p-1}{2}}(-1)-1=0[/latex]
，