關(guān)于完全平方數(shù)的一個(gè)命題
設(shè)[latex]f(x)=x^4+1[/latex]，定義[latex]f_0(x)=f(x)[/latex]，且對(duì)任意自然數(shù)n，定義
[latex]f_{n+1}(x)=f_n(x)+f_n^{'}(x)(n\geqslant 0)[/latex]
試證：對(duì)于任意奇整數(shù)k，任意自然數(shù)n，[latex]f_n(k)[/latex]都不是完全平方數(shù)。
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京公網(wǎng)安備 11010802022153號(hào)
樓主的題目要求證明的比較高大上，大家不妨嘗試著證明更強(qiáng)的結(jié)論。
1。 證明 [latex]f_n(x)\equiv f_0(x) (\mbox{mod} 4), \forall n\geq 0[/latex]
2. 證明對(duì)任意奇的整數(shù)，[latex]f_n(k)[/latex]是偶數(shù)，但不是4的倍數(shù)。
我試著求了下通項(xiàng)，不知道有沒有用，fn(x)=x^4+4n*x^3+6n(n-1)*x^2+4n(n-1)(n-2)*x+n(n-1)(n-2)(n-3)+1
恩，只要證明[latex]f_n(k)\equiv 2(mod4)[/latex]就可以
，
由通項(xiàng)立即可以得到所要的結(jié)果。