概率統(tǒng)計(jì)上的一個(gè)計(jì)算問題，真心搞糊涂了，重金求助！
如題，請高手不吝賜教，問題描述見圖片：
因?yàn)槎胤e分通常要化為二次積分進(jìn)行計(jì)算，這就涉及到先對哪個(gè)變量積分的問題，按道理說先對哪個(gè)變量積分都不要緊的，只要積分上下限設(shè)置正確結(jié)果應(yīng)該是一致的，可是我對其中的（2）和（4）操作的時(shí)候怎么都搞不定，比如（4）答案中是先對x后對y積分，我想先對先對y后對x積分，反復(fù)嘗試卻不能算出一致的結(jié)果（甚至不清楚如何設(shè)置積分域了），（2）也存在這樣的問題，請高手給予指點(diǎn)，先表示感謝！
二次積分1.png
二次積分2.png
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京公網(wǎng)安備 11010802022153號
你的"綜合有"答案是完全正確的, 由于不論(x,y)在哪里出現(xiàn), 它的左下方交D最復(fù)雜也不過是梯形, 所以用梯形面積公式最快了.
不過樓主感到困惑的是積分區(qū)域和積分次序.我覺得你的問題是把常量(x,y)與積分變量(s,t)混為一談,自己把自己繞進(jìn)去了.
比如說區(qū)域(2): 當(dāng)點(diǎn)(x,y)滿足 -1/2<x<0, 0<y<2x+1時(shí), 被積二元函數(shù)是f(s,t)=4 常數(shù)函數(shù), 積分區(qū)域是: (t-1)/2 < s <x, 0<t<y. (畫圖可知)
于是[latex]F(x,y)=\int_{0}^{y}dt \int_{(t-1)/2}^{x} 4 ds=4(xt+\frac{t}{2}-\frac{t^2}{4}|_{0}^{y}=4xy+2y-y^2[/latex] 非常吻合.
我想把積分變量置為（x,y)抑或(s,t)并不重要，我主要關(guān)心的問題是交換積分次序后結(jié)果應(yīng)該是一致的，比如（5）：但是我無法對（2）和（4）實(shí)現(xiàn)這樣的操作。問題也就出在這里。還望進(jìn)一步指點(diǎn)，謝謝！
（5）如下：
交換次序.png
，
積分交換次序 牽涉到如何表示積分區(qū)域.
以(2)為例, 該梯形按照先ds(x軸方向)后dt(y軸方向)表示是:
(t-1)/2 < s < x, 0<t<y
同樣梯形按照先dt(y軸方向)后ds(x軸方向)表示則是
-1/2 < s <x, 0 <t < min(2s+1, y)
樓主可以自己證明: [latex]\int_{0}^{y} dt \int_{(t-1)/2}^{x} ds =\int_{-1/2}^{x}ds \int_{0}^{\min(2s+1,y)} dt[/latex]
，問題來了，我該如何把其余的金幣返給你呢