路過的看了一下，幫頂，祝福你好運(yùn)！~~~~~~~~~~~~~~~~~~

祝福

我只找到兩組解 (1,0,2), (5,4,122)

(1)如果x=0, 則y必須大于0，且z>2。 那么 [latex]11^y|(z+1)(z-1)[/latex]推出 11|(z+1), 11|(z-1), 可這兩個(gè)數(shù)的差是2，而11不整除2， 矛盾。

(2)如果y=0, 則 [latex]3^x=(z+1)(z-1)[/latex]. 如果z>2, 同上可得矛盾。所以這時(shí)只有一組解 (x,y,z)=(1,0,2).

(3)當(dāng)x>0,y>0時(shí)，由3不整除11知道3不可以整除z. 于是[latex]z^2\equiv 1(mod 3)[/latex]于是從[latex]11^y\equiv (-1)^y (mod 3)[/latex]知道y=2k為偶數(shù)。 那么
[latex]3^x=(z+11^k)(z-11^k)[/latex]得到 [latex]3^x=z+11^k, 1=z-11^k[/latex], 從而
[latex]3^x=1+2\cdot 11^k[/latex], 比如[latex]3^5=1+2*11^2[/latex] 現(xiàn)在我們來說明這又是唯一解。

因?yàn)閇latex]3^x\equiv 1 (mod 11)[/latex] 推出x=5p. 于是[latex](1+2*11^2)^p=1+2\cdot 11^k[/latex], [latex]2p\cdot 11^2=2\cdot 11^k-\sum_{s=3}^{p}{p \choose s}2^s 11^{2s}[/latex]

大家需要證明， [latex]11^{k-2}, {p \choose s}11^{2s-2}[/latex]每一項(xiàng)因式分解中的11的冪次都嚴(yán)格大于p中11的冪次。所以p>2都是無解的，

出于好奇，在網(wǎng)上看到了這個(gè)

https://en.wikipedia.org/w/index ... amp;amp;redirect=no

Fermat–Catalan conjecture：[latex]a^m+b^n=c^k[/latex] 只有有限組解[latex](a^m,b^n,c^k)[/latex]， 如果a,b,c是互素正整數(shù)，m,n,k正整數(shù)滿足[latex]\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}\leq 1[/latex]

目前人們只找到10組解，Edstrayer就提供了一組[latex](3^5,11^4,122^2)[/latex]。

高深的數(shù)學(xué)問題。