最小公倍數(shù)的一個性質(zhì)
試證：無窮級數(shù)[latex]\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{[1,2,\cdots,n]}[/latex]收斂。
據(jù)說有人猜測這個級數(shù)的和是一個無理數(shù)，不知這一點如何證明？請教各位大神。
對于這個猜測，不知有多少人相信為真？
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京公網(wǎng)安備 11010802022153號
由[1,2,...,n]≥(n-1)*n可知該無窮級數(shù)收斂
該級數(shù)和為無理數(shù)應(yīng)該可以仿照e是無理數(shù)的證明
可以展開說說么？
我想了很久都無法知道是否是無理數(shù)
級數(shù)收斂沒問題，級數(shù)的和是一個確定的實數(shù)，且在5/3到2之間，至于是無理數(shù)還是有理數(shù)是一個還沒有解決的公開問題。
去網(wǎng)上放狗, 搜羅了一些事實.
令a(n)=LCM(1,2,3,...,n), 可以證明 [latex]a(n)\leq 3^n[/latex](簡單),
[latex]a(n)\geq 2^{n-1}[/latex] (不簡單),
或者更準(zhǔn)確的漸近公式,
[latex]a(n)=e^{n+o(n)}[/latex] (非常不簡單, 利用Gauss的素數(shù)定理),
或者再精確點, [latex]|\ln(a(n))-n|< \sqrt{n}\ln^2{n}[/latex](這是Riemann假設(shè)的眾多等價命題中的一個, 世紀(jì)難題!!!)
因此, 級數(shù)收斂是個推論. 但可以看出, 用證明e是無理數(shù)的方法來試圖證明該級數(shù)和也是無理數(shù), 此路不通. 幾何級數(shù)e^n發(fā)散遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如階乘n!~(n/e)^n快(Stirling公式) 是主要原因，