求取多解的非線性代數(shù)方程所有數(shù)值解的方法
0. 引言
一些非線性方程在實數(shù)范圍內(nèi)存在多解，本帖要討論的正是求得所有的這些解的方法。多解方程，其解的個數(shù)不同，求解難度也不同，本帖將針對解個數(shù)較少和解個數(shù)較多的兩種情況，各舉一例進(jìn)行討論，并提出相應(yīng)的方法和代碼，作者希望本帖提出的方法和代碼能具有較強(qiáng)的普適性。
本帖所采用軟件及其版本：
（1）1stOpt 1.5
（2）MATLAB 2010a
（3）Maple 18
1. 解個數(shù)較少的情況
例：求出如附圖1所示方程的全部解（方程出處：http://www.gaoyang168.com/bbs/viewthread.php?tid=9911763&fpage=1）。
附圖1.png
具體步驟如下：
步驟1：畫出方程圖形，直觀上確定解的個數(shù)
為了畫出方程圖形，首先須正確輸入該方程，如果輸入的原始方程都是錯誤的，就更不用談結(jié)果的正確性。
因此，在步驟1中還包括一個方程輸入預(yù)檢驗的步驟。
步驟1.1：方程輸入預(yù)檢驗
根據(jù)附圖1，可將原始方程寫為：
y=(25-(3/25)*k)^2-9.8*k*tanh((1/10)*k)*(1+(0.125e-2*(8+cosh(.4*k)-2*tanh(.1*k)^2))/sinh(.1*k)^4)
由于待求解方程形式較為復(fù)雜，須檢查方程的輸入是否正確。這里用到的軟件是Maple，利用該軟件強(qiáng)大的二維顯示功能，可判斷方程輸入的正誤。
將上述方程在Maple中的顯示結(jié)果如附圖2所示。
附圖2.png
仔細(xì)比對可知，原方程輸入無誤。
步驟1.2：方程圖形繪制
繪制原方程的圖形曲線時，橫軸坐標(biāo)的范圍盡量大一些；同時繪制出直線y=0，該直線與原方程曲線的交點(diǎn)，即為方程的解。
對于本例，MATLAB代碼如下：
上述代碼中，n表示繪圖時散點(diǎn)的個數(shù)，n應(yīng)當(dāng)取為較大的數(shù)值，以防止漏解。
上述代碼結(jié)果如附圖3所示。從附圖3中可見，原方程在k<100，以及k=1000附近存在兩個解；此外，仔細(xì)觀察可見，在k=0左右的細(xì)微局部也存在解，將此局部放大如附圖4，可見在這細(xì)微局部內(nèi)，存在兩個解。
附圖3.png
附圖4.png
步驟2：求解
對于這種方程，MATLAB的fsolve函數(shù)可高效求解，根據(jù)步驟1.2中的分析，初值選為-0.1，0.1，100和1000，具體代碼如下：
計算結(jié)果：
至此，用MATLAB求得了原方程全部4個解。
當(dāng)然，上述求解過程也可用1stOpt實現(xiàn)，根據(jù)步驟1.2中的分析，通過限定未知數(shù)k取值范圍的辦法，可同樣求解4個解，具體的代碼有4段，分別如下：
限定k小于0：
計算結(jié)果：
限定k在[0，1]：
計算結(jié)果：
限定k在[10，100]：
計算結(jié)果：
限定k>500：
計算結(jié)果：
2. 解個數(shù)較多的情況
對于解個數(shù)較多的情況，采用上述人工選取初值點(diǎn)的辦法將比較低效而且容易漏解，舉例如下：
求方程：y=sin(10*x)-log10(x) 的全部解（方程出處：http://www.gaoyang168.com/bbs/viewthread.php?tid=9425648&fpage=1）。
由于原方程形式很簡單，無需進(jìn)一步檢查方程輸入的正誤，采用MATLAB可繪制該方程在[0，100]范圍內(nèi)的圖形（由于方程中對數(shù)的存在，x<0時，不存在實數(shù)解，故x<0的情況毋須考慮），代碼如下，結(jié)果如附圖5所示。
附圖5.png
由附圖5可見，盡管原方程的曲線在縱軸方向劇烈震蕩，但在[0，10]之外的范圍不存在解，因此可進(jìn)一步繪制[0，10]范圍內(nèi)的圖形，如附圖6所示。
附圖6.png
可看到，該方程解的個數(shù)極多，采用上述人工選取初值點(diǎn)的方法就難以實施了。對于這種情況，作者的思路是這樣的：從圖形上至少能觀察到這些解大概的取值范圍，在這取值范圍之內(nèi)廣“撒網(wǎng)”，取足夠多的初值，求出來的結(jié)果就能遍歷全部解。當(dāng)然由于選取初值的個數(shù)大于解的個數(shù)，求出來的結(jié)果中肯定會有重復(fù)的，在代碼中加一段去重的函數(shù)，即可將所有解求出來，具體的MATLAB代碼如下：
計算結(jié)果：
至此，求得了原方程全部的31個解（如果有興趣數(shù)一下附圖6中紅線和藍(lán)線交點(diǎn)的個數(shù)，會發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)個數(shù)正是31）。
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用OpenLu求解：
說明：Lu腳本對整數(shù)運(yùn)算和實數(shù)運(yùn)算是有區(qū)別的，故3/25寫成了3.0/25，其他類似。
1. 解個數(shù)較少的情況
發(fā)現(xiàn)3個解：
-0.4190923544648197 3.410605131648481e-013
0.4207852612243718 -1.13686837721616e-013
40.83784438616018 0.
3
使用optmax參數(shù)加大求解精度：
求得全部解：
-0.4190923544648196 -1.13686837721616e-013
0.4207852612243718 -1.13686837721616e-013
40.83784438616018 0.
1063.205199210628 1.818989403545857e-012
4
2. 解個數(shù)較多的情況
發(fā)現(xiàn)9個解：
0.3601157243768782 -5.551115123125783e-017
0.6064214141293833 -2.220446049250313e-016
0.9449377253677708 -5.273559366969494e-016
1.266930508628267 -1.110223024625157e-016
1.55160066324603 -7.771561172376096e-016
1.913526139727183 1.498801083243961e-015
2.164907697628906 -8.326672684688674e-016
2.555238085345417 -5.551115123125783e-016
3.399721564856651 8.881784197001252e-016
9
使用optmax參數(shù)加大求解精度：
求得全部解：
0.3601157243768782 -5.551115123125783e-017
0.6064214141293833 -2.220446049250313e-016
0.9449377253677708 -5.273559366969494e-016
1.266930508628267 -1.110223024625157e-016
1.55160066324603 -7.771561172376096e-016
1.913526139727183 1.498801083243961e-015
2.164907697628906 -8.326672684688674e-016
2.555238085345417 -5.551115123125783e-016
2.781398223612919 3.885780586188048e-016
3.194461071000813 2.775557561562891e-015
3.399721564856651 8.881784197001252e-016
3.832208094483737 1.554312234475219e-015
4.019201851137966 6.994405055138486e-015
4.469016047883874 -2.331468351712829e-015
4.639443152869999 -2.220446049250313e-016
5.105216467504163 -2.442490654175344e-015
5.260182951108074 -1.332267629550188e-015
5.741042948060711 3.33066907387547e-016
5.881225293357182 -9.769962616701378e-015
6.376684609873521 -1.52433621281034e-013
6.502403275288452 -2.664535259100376e-015
7.012321721086956 -1.332267629550188e-015
7.123550557006736 3.441691376337985e-015
7.648162774282883 -2.664535259100376e-015
7.744467806033315 3.987921104453562e-013
8.284508976557957 -2.442490654175344e-015
8.364860078182078 -8.881784197001252e-016
8.921930291619619 5.551115123125783e-016
8.984161831936833 5.551115123125783e-016
9.562104170355372 -2.55351295663786e-015
9.600698824827939 -6.905742644391921e-011
31
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