一個代數(shù)恒等式的證明
題目：設(shè)x，y，z是正實(shí)數(shù)，且滿足[latex]xy+yz+zx=1[/latex]，試證：
[latex]xyz(x+y)(y+z)(z+x)-(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)=\frac{1}{2}\left((1-x^2)(y-z)^2+(1-y^2)(z-x)^2+(1-z^2)(x-y)^2\right)[/latex]
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京公網(wǎng)安備 11010802022153號
要進(jìn)一步地證明不等式：
[latex](1-x^2)(y-z)^2+(1-y^2)(z-x)^2+(1-z^2)(x-y)^2\geqslant 0[/latex]
該如何證明呢？
暫時只能證明x,y,z至多只有一個大于1
另外約束條件可以配方成
(x+y-z)2+(x-y+z)2+(x-y-z)2=2
你其實(shí)無意中已經(jīng)說出答案了阿
如果有兩個大于1，比如x,y, 那么 x 乘以 y 已經(jīng)大于1。
如果恰好只有一個大于1， 那么恒等式左邊是一個正數(shù)減去一個負(fù)數(shù)，自然大于0
如果三個都小于1， 那么恒等式右邊每一項(xiàng)都是正數(shù)，自然大于0.
所以二樓的證明才是關(guān)鍵！
我一直在考慮坐標(biāo)變換或者三角代換……
是的，在約束條件xy+yz+zx=1(x>0,y>0,z>0)下，不等式
[latex](1-x^2)(y-z)^2+(1-y^2)(z-x)^2+(1-z^2)(x-y)^2\geqslant 0[/latex]
與不等式：
[latex]xyz(x+y)(y+z)(z+x)\geqslant(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)[/latex]
相互等價，彼此可互推。
我就只會硬算。。。
不等式.png