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gold2007

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10樓: Originally posted by i維數(shù) at 2016-05-13 23:16:42
然后呢，試了一下，解方程好像并不好解...

思路就這樣，計算線性方程組的解的確不輕松。

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11樓2016-05-14 00:15:24

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i維數(shù)

木蟲 (正式寫手)

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引用回帖:

11樓: Originally posted by gold2007 at 2016-05-14 00:15:24
思路就這樣，計算線性方程組的解的確不輕松。
...

ok,謝了

回復(fù)此樓

12樓2016-05-14 00:21:10

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hank612

至尊木蟲 (著名寫手)

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★ ★ ★
Edstrayer: 數(shù)學(xué)EPI+1, 應(yīng)助指數(shù)+1, thank 2016-05-19 07:36:48
i維數(shù): 金幣+5, ★★★★★最佳答案 2016-05-19 17:52:19

長文, 慎入.

(1) 考慮次數(shù)小于n的所有實系數(shù)多項式組成的n維線性空間V,定義內(nèi)積為 $<f,g>:=\int_{0}^{1}f(x)g(x)dx$ . V中所有系數(shù)和為零 $\{g(x)\in V:g(1)=0\}$ 的多項式組成(n-1)維子空間W.于是W在V中的正交補空間內(nèi)有且僅有一個多項式 $f(x)=b_0+b_1x+b_2x^2\dots+b_{n-1}x^{n-1}$ 滿足f(1)=1.
(2)容易看出, 在V中所有滿足F(1)=1的多項式F(x)中, 必有 $\int_{0}^{1}F^2(x)dx\geq \int_{0}^{1} f^2(x)dx$ . 原因很簡單, 由于F(x)-f(x)屬于W, 所以 $\int_{0}^1(F-f)*fdx=0$ , 于是 $\int_{0}^{1}(F-f+f)^2=\int_{0}^1(F-f)^2+f^2+2(F-f)f=\int_{0}^1 (F-f)^2+\int_{0}^1 f^2$ , 從而f是使得平方的積分取到最小值但系數(shù)和仍為1的唯一多項式.

(3)由于 $1-x, 1-x^2,\ldots,1-x^{n-1}$ 恰好是W的一組基,且f(x)-1屬于W, 我們知道
$\int_{0}^1 f^2(x)dx=\int_{0}^1 f(x)dx=\int_{0}^1 x*f(x)dx=\ldots=\int_{0}^1 x^{n-1}f(x)dx$ , 設(shè)這一串等式的值為A.

(4)代入f的表達(dá)式, 逐項積分, 得到n 個等式:
$b_0+\frac{b_1}{2}+\frac{b_2}{3}+\dots+\frac{b_{n-1}}{n}=A$
$\frac{b_0}{2}+\frac{b_1}{3}+\frac{b_2}{4}+\dots+\frac{b_{n-1}}{n+1}=A$
......,
$\frac{b_0}{n}+\frac{b_1}{ n+1}+\frac{b_2}{n+2}+\dots+\frac{b_{n-1}}{2n-1}=A$

(5)現(xiàn)在我們要踩一踩巨人的肩膀了.
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_matrix
$b_i$ 的系數(shù)矩陣恰好是Hilbert matrix H, $H_{ij}=\frac{1}{i+j-1}$ , 于是
$1=f(1)=\sum_{k=0}^{n-1} b_k$ 恰好是未知的常數(shù)A乘以 inverse Hilbert matrix的所有系數(shù)之和.
后者讓我們再踩Samuel Schechter或者 R.B.Smith的肩膀(文章中第75頁第一,二行formula(13) )
https://math.berkeley.edu/~strai ... y.matrices.1959.pdf
全部系數(shù)和等于s=n(p+n), 這里p=0, 于是 $1=A*n^2$ , 得到@ i維數(shù) 的猜想 $A=\frac{1}{n^2}$
文章里formula(16)或上面的wikipedia連接有Hilbert逆矩陣的每個元素的具體表達(dá)式,大家可以得到b_i的具體表達(dá)式. 大致是 $b_0=(-1)^{n+1}\frac{1}{n},b_1=(-1)^{n+2}(n-\frac{1}{n})$ ,
以及 $(-1)^{n+j}*n*b_j$ 都是自然數(shù).

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附件 1 : schechter.cauchy.matrices.1959.pdf

2016-05-18 05:05:37, 388.82 K

We_must_know. We_will_know.

13樓2016-05-18 05:05:40

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i維數(shù)

木蟲 (正式寫手)

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引用回帖:

13樓: Originally posted by hank612 at 2016-05-18 05:05:40
長文, 慎入.

(1) 考慮次數(shù)小于n的所有實系數(shù)多項式組成的n維線性空間V,定義內(nèi)積為 <f,g>:=\int_{0}^{1}f(x)g(x)dx . V中所有系數(shù)和為零\{g(x)\in V:g(1)=0\}的多項式組成(n-1)維子空間W.于是W在V中的正交 ...

謝謝大神！我試著看看能不能看懂。。。

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14樓2016-05-19 00:19:48

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