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李干是

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10樓: Originally posted by gold2007 at 2016-05-22 11:31:44
提示：用Taylor公式，再構(gòu)作輔助函數(shù)

我不太善于自己去構(gòu)造函數(shù)去證明問(wèn)題，這對(duì)我有難度，大神就幫人幫到底，把函數(shù)告訴我吧

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11樓2016-05-22 12:07:15

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李干是

12樓2016-05-22 15:11:58

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12樓: Originally posted by gold2007 at 2016-05-22 15:11:58
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非常感謝

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13樓2016-05-22 15:18:27

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我這個(gè)證明的思路，是由那一點(diǎn)2階導(dǎo)數(shù)不為0，想到：該點(diǎn)充分小鄰域內(nèi)，函數(shù)近似為嚴(yán)格凸或者嚴(yán)格凹，通過(guò)畫(huà)圖想出來(lái)的。

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14樓2016-05-22 15:18:33

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引用回帖:

14樓: Originally posted by gold2007 at 2016-05-22 15:18:33
我這個(gè)證明的思路，是由那一點(diǎn)2階導(dǎo)數(shù)不為0，想到：該點(diǎn)充分小鄰域內(nèi)，函數(shù)近似為嚴(yán)格凸或者嚴(yán)格凹，通過(guò)畫(huà)圖想出來(lái)的。

我也按照函數(shù)的凹凸性想過(guò)，可是我沒(méi)有嘗試用構(gòu)造函數(shù)的方法來(lái)證明，只是用該函數(shù)的再改點(diǎn)局部的性質(zhì)試圖去說(shuō)明，讓我陷入一片混亂

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15樓2016-05-22 15:21:45

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hylpy

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【答案】應(yīng)助回帖

引用回帖:

5樓: Originally posted by hylpy at 2016-05-21 14:10:25
引進(jìn)輔助涵數(shù)：g(x)=x;
f(x),g(x)在(x_1,x_2)內(nèi)滿(mǎn)足拉格朗日中值定理?xiàng)l件,應(yīng)用該中值定理，即得：
{f(x_1)-f(x_2)}/{g(x_1)-g(x_2)}={f(x_1)-f(x_2)}/{x_1-x_2}=f’(η);η∈(x_1,x_2){∈(a,b)}.

此處應(yīng)該是柯西中值定理，而非拉格朗日中值定理

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凡事，一笑而過(guò)。。。。。。

16樓2016-05-23 08:58:12

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引用回帖:

16樓: Originally posted by hylpy at 2016-05-23 08:58:12
此處應(yīng)該是柯西中值定理，而非拉格朗日中值定理...

其實(shí)，根據(jù)我前面那個(gè)帖子，只要 $f^{\prime}(\eta)$ 不是全局最大值或最小值（該條件比二次導(dǎo)數(shù)為零要弱), 而取A， B分別取到一階導(dǎo)的最值，由于g(x) 變號(hào)，題目中的結(jié)論都顯然成立。

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We_must_know. We_will_know.

17樓2016-05-23 09:22:17

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17樓: Originally posted by hank612 at 2016-05-23 09:22:17
其實(shí)，根據(jù)我前面那個(gè)帖子，只要f^{\prime}(\eta)不是全局最大值或最小值（該條件比二次導(dǎo)數(shù)為零要弱), 而取A， B分別取到一階導(dǎo)的最值，由于g(x) 變號(hào)，題目中的結(jié)論都顯然成立。...

不明白為什么一定能在給定的開(kāi)區(qū)間取到一階導(dǎo)的最值？即使取到，為什么g變號(hào)？能否請(qǐng)您詳細(xì)寫(xiě)一下？

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18樓2016-05-23 11:15:32

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8樓: Originally posted by hank612 at 2016-05-22 01:37:59
按照 hylpy的思路，任給A，B 兩點(diǎn)，考慮函數(shù)
g(x)=(\frac{f(x)-f(A)}{x-A}-f^{\prime}(\eta))(\frac{f(B)-f(x)}{B-x}-f^{\prime}(\eta))

\it{\bf{IF}} 我們能夠找到適當(dāng)?shù)腁，B使得g(x) 在兩個(gè)端點(diǎn)A，B處取值異 ...

函數(shù)g有3個(gè)自變量x, A, B, 不太好處理吧

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19樓2016-05-23 11:31:32

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★ ★ ★ ★ ★
李干是(Edstrayer代發(fā)): 金幣+5 2016-05-23 15:41:07

引用回帖:

18樓: Originally posted by gold2007 at 2016-05-23 11:15:32
不明白為什么一定能在給定的開(kāi)區(qū)間取到一階導(dǎo)的最值？即使取到，為什么g變號(hào)？能否請(qǐng)您詳細(xì)寫(xiě)一下？
...

謝謝你的探討，我的論述確實(shí)不嚴(yán)謹(jǐn)，在開(kāi)區(qū)間上不一定取到最值。我偷梁換柱一下，命題可能與 @李干是的略有不同。

命題： f(x) 在 (a,b) 上處處可導(dǎo) (導(dǎo)函數(shù)不要求連續(xù)), 常數(shù)c 介于 $\sup_{x\in (a,b)}f^{\prime}(x)$ 與 $\inf_{y\in (a,b)}f^{\prime}(y)$ 之間，
則存在(a,b)中兩點(diǎn)C,D 使得 $\frac{f(C)-f(D)}{C-D}=c$

證明：有題設(shè)條件，存在兩點(diǎn)A， B使得 $f^{\prime}(A)<c<f^{\prime}(B)$ .
考慮輔助函數(shù) $g(x)=(\frac{f(x)-f(A)}{x-A}-c)\cdot (\frac{f(B)-f(x)}{B-x}-c)$ , 注意到 $g(A)=(f^{\prime}(A)-c)\cdot (\frac{f(B)-f(A)}{B-A}-c)$ , $g(B)=(f^{\prime}(B)-c)\cdot (\frac{f(B)-f(A)}{B-A}-c)$ 恰好異號(hào)，于是連續(xù)函數(shù) g(x) 在(A,B)上取到零值，記為 g(T)=0.

那么，要么 $\frac{f(T)-f(A)}{T-A}=c$ , 要么 $\frac{f(B)-f(T)}{B-T}=c$ , 總之命題是成立的。

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20樓2016-05-23 12:22:33

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