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lxd_bruce

木蟲(chóng) (正式寫(xiě)手)

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Originally posted by mozhui at 2009-8-30 00:06:
最后，泛函分析和測(cè)度論的入門(mén)教材推薦 a.h.柯?tīng)柲曷宸虻摹逗瘮?shù)論和泛函分析初步》，講得很好，對(duì)于每個(gè)稍微陌生的概念都給出定義，僅需要很少的預(yù)備知識(shí)，比如高數(shù)或數(shù)分就可以通讀～

你眼光不錯(cuò)，柯?tīng)柲曷宸蚴谴笈�，概率論的開(kāi)山祖師，泛函分析也很牛。
這本書(shū)我沒(méi)看過(guò)，不過(guò)大師的書(shū)，想來(lái)總不會(huì)不好的。

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21樓2009-08-30 01:13:45

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mozhui

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因此，盡管三角函數(shù)系是l2空間在自變量有界的情形下的完備基，但這里的“完備”僅意味著原函數(shù)和展開(kāi)級(jí)數(shù)的在l2范數(shù)意義下的等價(jià)性，而在具體自變量的某個(gè)值處，可能會(huì)差異巨大（這直接影響在該點(diǎn)幾率結(jié)果的計(jì)算），而處處收斂或一致收斂的要求則要強(qiáng)的多。
所以，我的意思是，盡管l2中的完備基可以在平均收斂的意義下逼近其中的任意函數(shù)，但是如果提高要求，比如不僅要求收斂是平均的，還要是處處的（這在量子力學(xué)中是有意義的，比如，用展開(kāi)級(jí)數(shù)近似計(jì)算空間某些點(diǎn)或某個(gè)區(qū)域內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率時(shí)），那么就需要?jiǎng)h除l2中相當(dāng)多的函數(shù)，我所感興趣的是剩下的函數(shù)應(yīng)該滿(mǎn)足什么樣的條件？

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22樓2009-08-30 01:36:25

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Originally posted by mozhui at 2009-8-30 01:08:
回樓上，據(jù)我所知，l2空間的完備性是在平均收斂（即按由內(nèi)積引入的范數(shù)趨于零）而非處處收斂或一致收斂的意義下的，因此，只能保證其中的函數(shù)對(duì)于你所說(shuō)的完備基展開(kāi)級(jí)數(shù)的差的平方的勒貝格積分趨于零而非在每點(diǎn)都趨于零…希望你去查查清楚～

我明白你的意思了。
量子力學(xué)中討論的空間是全空間上平方勒貝格可積的函數(shù)的集合。
而你要求的是這種函數(shù)（即波函數(shù)）在某個(gè)有限區(qū)間上的“概率”，你想知道，用波函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)求在這個(gè)有限區(qū)間的“概率”的和的極限，是否和用原來(lái)的波函數(shù)在這個(gè)有限區(qū)間求得的“概率”相同，對(duì)吧？

這個(gè)我可以告訴你，是相同的。

全空間上平方勒貝格可積必然在任何一個(gè)有限區(qū)間平方勒貝格可積的。
在某個(gè)有限區(qū)間平方勒貝格可積的所有函數(shù)構(gòu)成的空間也是一個(gè)hilbert空間，可以定義類(lèi)似的內(nèi)積，記為p。

所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化成：這個(gè)有限區(qū)間上的任何一個(gè)平方勒貝格可積函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)是否按照p所定義的范數(shù)收斂與它本身？對(duì)吧？

答案是肯定的。

其實(shí)你所說(shuō)的傅立葉級(jí)數(shù)不必幾乎處處都收斂于它本身。這個(gè)要求太強(qiáng)了。沒(méi)有必要的。只要按照p所定義的范數(shù)收斂與它本身就可以了，因?yàn)檫@本身就是你想要的結(jié)果了。

不過(guò)注意，這個(gè)有限區(qū)間和三角函數(shù)的積分區(qū)間[-派，+派]差一個(gè)變換，算積分的話(huà)，要把這個(gè)變換也計(jì)算在內(nèi)。

具體可以去看北大潘文杰寫(xiě)的《傅里葉分析及其應(yīng)用》第二章2.7節(jié)。

[ Last edited by lxd_bruce on 2009-8-30 at 02:33 ]

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23樓2009-08-30 02:10:26

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數(shù)學(xué)上，一般在某個(gè)點(diǎn)的積分是無(wú)意義的。
哪怕是廣義函數(shù)，也不過(guò)是定義為基本函數(shù)空間上的連續(xù)線(xiàn)性泛函。
不過(guò)倒是可以用有限區(qū)間的積分值的去逼近這個(gè)點(diǎn)，把這個(gè)極限（如果有的話(huà)）作為這個(gè)點(diǎn)的積分的定義。這就是比較“粗糙”的方式了。

[ Last edited by lxd_bruce on 2009-8-30 at 02:34 ]

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24樓2009-08-30 02:13:31

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Originally posted by mozhui at 2009-8-30 01:36:

因此，盡管三角函數(shù)系是l2空間在自變量有界的情形下的完備基，但這里的“完備”僅意味著原函數(shù)和展開(kāi)級(jí)數(shù)的在l2范數(shù)意義下的等價(jià)性，而在具體自變量的某個(gè)值處，可能會(huì)差異巨大（這直接影響在該點(diǎn)幾率結(jié)果的計(jì)算），而處處收斂或一致收斂的要求則要強(qiáng)的多。
所以，我的意思是，盡管l2中的完備基可以在平均收斂的意義下逼近其中的任意函數(shù)，但是如果提高要求，比如不僅要求收斂是平均的，還要是處處的（這在量子力學(xué)中是有意義的，比如，用展開(kāi)級(jí)數(shù)近似計(jì)算空間某些點(diǎn)或某個(gè)區(qū)域內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率時(shí)），那么就需要?jiǎng)h除l2中相當(dāng)多的函數(shù)，我所感興趣的是剩下的函數(shù)應(yīng)該滿(mǎn)足什么樣的條件？

就你所求的東西，其實(shí)根本不需要處處都收斂的。
“處處”這個(gè)要求太高了。實(shí)分析中討論的也不過(guò)是“幾乎處處”。
你如果真對(duì)這個(gè)感興趣，倒是可以看看在有限區(qū)間上勒貝格可積的函數(shù)空間的傅里葉分析的內(nèi)容。
參考的書(shū)也是我剛才說(shuō)的那本。
有胃口的話(huà)，可以去看看傅里葉分析的名著。

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25樓2009-08-30 02:23:45

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現(xiàn)在看來(lái)量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是泛函分析
========================
不光是泛函了，還有群表示論。
包括特殊函數(shù)的理論，也是可以用群表示論（主要是李群李代數(shù)的表示論）來(lái)推導(dǎo)的。
而且群表示論在量子場(chǎng)論中MS用得更多。
群表示論，我還沒(méi)搞定。差不少呢。呵呵。

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26樓2009-08-30 02:38:08

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Originally posted by lxd_bruce at 2009-8-30 02:13:
數(shù)學(xué)上，一般在某個(gè)點(diǎn)的積分是無(wú)意義的。
哪怕是廣義函數(shù)，也不過(guò)是定義為基本函數(shù)空間上的連續(xù)線(xiàn)性泛函。
不過(guò)倒是可以用有限區(qū)間的積分值的去逼近這個(gè)點(diǎn)，把這個(gè)極限（如果有的話(huà)）作為這個(gè)點(diǎn)的積分的定義 ...

廣義函數(shù)中的收斂是指廣函序列在基本空間每個(gè)元素上的收斂，要求自然也寬的多，不過(guò)與我們所討論的問(wèn)題似乎無(wú)關(guān)。
我想知道的是在某些點(diǎn)的概率值，而非積分。由于平方收斂的要求展開(kāi)函數(shù)與原函數(shù)的差異僅存在于零測(cè)集上，所以可以理解有限區(qū)間上的積分確可保證收斂性～
而對(duì)于某些點(diǎn)附近出現(xiàn)概率值的逼近要求則會(huì)導(dǎo)致處處收斂的要求。另外，更進(jìn)一步，如果希望算符作用（比如動(dòng)量算符對(duì)應(yīng)的微分算子）到傅立葉展開(kāi)級(jí)數(shù)后仍收斂于算符作用于原態(tài)函數(shù)得到的結(jié)果，將導(dǎo)致對(duì)一致收斂性的要求。
所以，我的本意是，討論量子力學(xué)中的態(tài)函數(shù)的展開(kāi)問(wèn)題，僅依據(jù)l2空間的完備性來(lái)進(jìn)行各種運(yùn)算似乎是不很安全的，在數(shù)學(xué)上沒(méi)有嚴(yán)格的保障。
潘老師的書(shū)拜讀過(guò)一部分，確是一本好書(shū)～

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27樓2009-08-30 09:34:35

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Originally posted by lxd_bruce at 2009-8-30 02:38:
現(xiàn)在看來(lái)量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是泛函分析
========================
不光是泛函了，還有群表示論。
包括特殊函數(shù)的理論，也是可以用群表示論（主要是李群李代數(shù)的表示論）來(lái)推導(dǎo)的。
而且群表示論在量子場(chǎng)論中M ...

群表示論在量子力學(xué)中最大的應(yīng)用似乎在對(duì)薛定諤方程的求解，更像是手段而非基礎(chǔ)。量子場(chǎng)論沒(méi)學(xué)過(guò)就不清楚了（不過(guò)我買(mǎi)的那本量子場(chǎng)論導(dǎo)論中泛函分析特別是函數(shù)積分處于主導(dǎo)地位…）…群論的書(shū)推薦j.f.cornwell的《物理學(xué)中的群論》對(duì)于線(xiàn)性李群和李代數(shù)都有較為詳細(xì)的討論，他還有本較新的《導(dǎo)論》，保留了原書(shū)的基本框架但略去了大段的證明，趕時(shí)間的話(huà)看看也不錯(cuò)～

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28樓2009-08-30 09:35:16

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Originally posted by mozhui at 2009-8-30 09:34:

廣義函數(shù)中的收斂是指廣函序列在基本空間每個(gè)元素上的收斂，要求自然也寬的多，不過(guò)與我們所討論的問(wèn)題似乎無(wú)關(guān)。
我想知道的是在某些點(diǎn)的概率值，而非積分。由于平方收斂的要求展開(kāi)函數(shù)與原函數(shù)的差異僅存在于零測(cè)集上，所以可以理解有限區(qū)間上的積分確可保證收斂性～
而對(duì)于某些點(diǎn)附近出現(xiàn)概率值的逼近要求則會(huì)導(dǎo)致處處收斂的要求。另外，更進(jìn)一步，如果希望算符作用（比如動(dòng)量算符對(duì)應(yīng)的微分算子）到傅立葉展開(kāi)級(jí)數(shù)后仍收斂于算符作用于原態(tài)函數(shù)得到的結(jié)果，將導(dǎo)致對(duì)一致收斂性的要求。
所以，我的本意是，討論量子力學(xué)中的態(tài)函數(shù)的展開(kāi)問(wèn)題，僅依據(jù)l2空間的完備性來(lái)進(jìn)行各種運(yùn)算似乎是不很安全的，在數(shù)學(xué)上沒(méi)有嚴(yán)格的保障。
潘老師的書(shū)拜讀過(guò)一部分，確是一本好書(shū)～

你說(shuō)的其實(shí)不是概率值，因?yàn)榱孔恿W(xué)中的概率值本身就是一個(gè)積分。

另外，算符的連續(xù)性就可以保證算符作用在傅立葉展開(kāi)級(jí)數(shù)后仍收斂（按照 L2空間上的范數(shù)收斂）于算符作用于原態(tài)函數(shù)得到的結(jié)果，一致收斂是不必要的。
因?yàn)橥蟮母怕什贿^(guò)是求個(gè)積分而已。

按照實(shí)分析的角度，L2空間上的函數(shù)的傅里葉展開(kāi)問(wèn)題在MS在量子力學(xué)上沒(méi)有多大應(yīng)用價(jià)值。

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29樓2009-08-30 09:50:15

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Originally posted by mozhui at 2009-8-30 09:35:

群表示論在量子力學(xué)中最大的應(yīng)用似乎在對(duì)薛定諤方程的求解，更像是手段而非基礎(chǔ)。量子場(chǎng)論沒(méi)學(xué)過(guò)就不清楚了（不過(guò)我買(mǎi)的那本量子場(chǎng)論導(dǎo)論中泛函分析特別是函數(shù)積分處于主導(dǎo)地位…）…群論的書(shū)推薦j.f.cornwell的 ...

多謝，我會(huì)去翻翻你說(shuō)的那本書(shū)。

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30樓2009-08-30 09:51:54

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[考研] 0817化學(xué)工程與技術(shù)考研312分調(diào)劑 +3	T123 tt 2026-03-12	3/150	2026-03-13 10:49 by houyaoxu