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★
xu17211(金幣+1): 謝謝參與

這問題不需要討論; 如果b^2-4 ac <0, 在復(fù)數(shù)域上討論解析解就可以了;

比如Exp( i a) = cos(a) + i sin(a)

cos(i a) = (exp(a)+exp(-a))/2

這個(gè)問題的解析解可以這么表示:

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11樓2014-08-28 14:26:55

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小木蟲: 金幣+0.5, 給個(gè)紅包，謝謝回帖

這個(gè)跟上一個(gè)本質(zhì)上是一樣的; 不過如果不喜歡處理復(fù)數(shù), 可以分別用上面的和這個(gè)解:

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12樓2014-08-28 14:38:53

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引用回帖:

2樓: Originally posted by xiegangmai at 2010-08-31 20:04:04
首先將y''+a*y'^2+by'+c=0 二階微分方程變換為一階微分方程組的形式
y(1) = y(2);
y(2) = -a * y(1) ^ 2 - b * y(1) - c;

給定具體a、b、c值，可用ode45可求解。
用MATLAB求不了解析解。

這種思路非常好;

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13樓2014-08-28 17:33:09

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引用回帖:

3樓: Originally posted by xu17211 at 2010-08-31 22:33:05
如果不應(yīng)用matlab進(jìn)行求解，請問大家能給出合理的解析解的思路嗎？

xiegangmai 的方法求解析解就對了

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14樓2014-08-28 17:33:36

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小木蟲: 金幣+0.5, 給個(gè)紅包，謝謝回帖
feixiaolin: 金幣+4 2014-12-24 20:15:45

令u=dy/dx ,y''=du/dx=du/dy*dy/dx=u*du/dy ,
代入原方程中得：u*du/dy+a*u^2+b*u+c=0
u*du/{u^2+b/a*u+c/a}=-a*dy
[u-b/(2*a)+b/(2*a)]*du/{[u+b/(2*a)]^2*u+c/a-b^/(4*a^2)}=-a*dy
[u+b/(2*a)]*du/{[u+b/(2*a)]^2*u+c/a-b^/(4*a^2)})-b/(2*a)*du/{[u+b/(2*a)]^2*u+c/a-b^/(4*a^2)}=-a*dy
[u+b/(2*a)]*du/{[u+b/(2*a)]^2*u+(4*a*c-b^2)/(4*a^2)}
-b/(2*a)*d[u+b/(2*a)]/{[u+b/(2*a)]^2*u+(4*a*c-b^2)/(4*a^2)}=-a*dy
討論：
（1）4*a*c-b^2=0
Ln[u+b/(2*a)] +b/(2*a)/[u+b/(2*a)]=C-a*y ，C為積分常數(shù)。
Ln[y'+b/(2*a)] +b/(2*a)/[y'+b/(2*a)]=C-a*y

（2）4*a*c-b^2>0 ,令[4*a*c-b^2]/(4*a^2)=β^2
1/2*Ln{[u+b/(2*a)]^2+β^2} + Arctg{[u+b/(2*a)]/β}/β=C-a*y
1/2*Ln{[y'+b/(2*a)]^2+β^2} + Arctg{[y'+b/(2*a)]/β}/β=C-a*y

(3) 4*a*c-b^2<0 ,令[4*a*c-b^2]/(4*a^2)=-β^2
(2*a*β-b)/(4*a*β)*Ln{[u+b/(2*a)]-β}+ (2*a*β+b)/(4*a*β)*Ln{[u+b/(2*a)]+β}=C-a*y
(2*a*β-b)/(4*a*β)*Ln{[y'+b/(2*a)]-β}+ (2*a*β+b)/(4*a*β)*Ln{[y'+b/(2*a)]+β}=C-a*y

無論如何，得出的降階方程是一個(gè)非線性方程，過于復(fù)雜了，求不出解析解，只能求數(shù)值解了。

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15樓2014-12-24 18:54:37

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