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Pchief

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Originally posted by ykwang at 2010-11-05 21:42:45:

關(guān)于左逆陣和右逆陣的概念見：
《線性代數(shù)》，朝嵩金,正敏段,漢明王, 清華大學(xué)出版社, 2006. p65。

我在網(wǎng)上只查到：

《線性代數(shù)》，金朝嵩,段正敏,王漢明, 清華大學(xué)出版社。

雖然我不知道你那念名字的習慣是哪個國家的，不過那是小事。我就當是這本了，改天看看去。

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回復(fù)此樓

31樓2010-11-05 21:59:06

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ykwang

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Originally posted by Pchief at 2010-11-05 21:59:06:

我在網(wǎng)上只查到：

《線性代數(shù)》，金朝嵩,段正敏,王漢明, 清華大學(xué)出版社。

雖然我不知道你那念名字的習慣是哪個國家的，不過那是小事。我就當是這本了，改天看看去。

這個批評我接受，因為我的文獻索引系統(tǒng)有點水土不服，而我又疏于檢查了。

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Nothing_Is_Impossible!

32樓2010-11-05 22:09:41

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就是溜溜的她

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我大致看了一下，沒有仔細看，需要補充說明一下
不知道大家有沒有理解我這個問題的意思，我這里再專門寫清楚一點。我的意思是，假如你就是一個數(shù)學(xué)家，現(xiàn)在還沒有逆矩陣的概念，你想創(chuàng)建逆矩陣的一個定義，擺在你面前的是
AB=I
和
BA=I
兩個等式，但是你覺得這兩個等式是一回事，用數(shù)學(xué)的語言來說就是它們是等價的，其中一個可以推出另一個，因此只需要拿一個等式作為逆矩陣的定義即可（但是我翻了一下我手頭的兩本線性代數(shù)書，它們都把兩個等式都作為逆矩陣的定義，并沒有只取其中一個，這就是我發(fā)本貼詢問的原因，是不是只取一個就可以？同時我自己也還在尋求證明）。可是出于數(shù)學(xué)家嚴謹?shù)牧晳T，你又不放心，覺得這兩個等式的等價性需要證明一下，比如如果已知AB=I，怎么推導(dǎo)出BA=I？（這個證明了，已知BA=I，推導(dǎo)出AB=I顯然就同理得出）只要證明了這兩個等式等價，我們就只需要拿其中任一個等式作為逆矩陣的定義，而不是拿兩個等式。
明白了我的意思之后，各位就要注意了，現(xiàn)在你還根本沒有逆矩陣的概念（因為你還沒有給逆矩陣下定義，下定義是你推導(dǎo)完之后的事）就是說你在推導(dǎo)過程中根本不能利用逆矩陣的定義，但是我發(fā)現(xiàn)有幾位朋友在推導(dǎo)中已經(jīng)用了逆矩陣的概念了，這是不行的。
各位的回帖我稍后再仔細看，我自己也在證明呢

我把上面的說明加到一樓去了，以方便后面看到本貼的朋友理解問題的意思。

[ Last edited by 就是溜溜的她 on 2010-11-5 at 23:59 ]

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回復(fù)此樓

33樓2010-11-05 22:12:22

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引用回帖:

Originally posted by Pchief at 2010-11-05 16:36:08:

咳。

樓主是說用 AB=I 一個等式，來定義 A 為可逆矩陣可不可以。

請注意，可逆矩陣以及逆矩陣的概念尚未定義。

所以你的 A^(-1) 和 B^(-1) 是什么，我只能說：不知道。

Pchief君真正理解了我的意思，贊一個

。你的證明我稍后再仔細看

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回復(fù)此樓

34樓2010-11-05 22:31:12

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Pchief

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樓主還可以看看我的18樓的反例，也許會有點啟發(fā)。

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35樓2010-11-05 22:37:00

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Originally posted by Pchief at 2010-11-04 18:38:01:
首先，證明 B 的唯一性，就是說如果 AB=AC=I 則 B=C。

事實上，由 AB = I 兩邊取行列式可知 det A ≠ 0 。再由 AB = AC可得 A(B - C) =0，這就是說，B-C的每個列 x 是齊次線性方程組 Ax=0 的解。但由 det A ≠ ...

由 det A ≠ 0 推出 Ax=0 只有零解，這叫做Cramer法則。這個定理的證明不需要用到矩陣的知識，所涉及的知識完全是行列式的。

證明如下：設(shè) x=(x(1), ..., x(n))'，并把 A 的 n 個列依次記為 ξ(1), ..., ξ(n). 則等式 Ax = 0可以寫成
x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n) = 0

于是對于任何一個 j， 1≤j≤n，我們有

0 = det (ξ(1), ... , x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n), ... , ξ(n)) 其中x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n)位于第 j 個位置

=x(1) det (ξ(1), ... , ξ(1),...,ξ(n))+ ... + x(n) det (ξ(1), ... , ξ(n),...,ξ(n))

=x(j) det (ξ(1), ... , ξ(j),...,ξ(n)) 因為除了這一項，其他的行列式都有兩列相同而為零

=x(j) det A.

由 det A≠0 得 x(j) =0，由于 j 的任意性得到 x = 0，Cramer法則得證。

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36樓2010-11-05 23:00:03

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tiger81

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Originally posted by Pchief at 2010-11-05 22:37:00:
樓主還可以看看我的18樓的反例，也許會有點啟發(fā)。

別啟發(fā)別人了，看看25樓的回復(fù)吧，還有29樓的進一步解釋。

[ Last edited by tiger81 on 2010-11-5 at 23:45 ]

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37樓2010-11-05 23:42:55

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Originally posted by tiger81 at 2010-11-05 23:42:55:

別啟發(fā)別人了，看看25樓的回復(fù)吧，還有29樓的進一步解釋。

[ Last edited by tiger81 on 2010-11-5 at 23:45 ]

我已經(jīng)看過了，就是不知道閣下有沒有看過樓主在33樓紅色大字寫的那些補充說明呢？

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回復(fù)此樓

38樓2010-11-05 23:54:50

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把我所有的回復(fù)匯總一下：

A和B是同階方陣，則等式 AB=I 蘊涵 BA=I 的證明 （略有簡化）

首先感謝 ykwang 提供思路，雖然沒有寫出具體證明過程，但對證明的簡化有一定幫助，鄙人在此收回26樓最后一句話，并鄭重向 ykwang 致歉

首先由 AB = I 兩邊取行列式可知 det A ≠ 0，其次，等式 AB = I 兩邊右乘 A 得 ABA = A，移項并分離因式得 A(BA - I) = 0，于是 BA - I 的每個列 x 滿足 Ax =0 ，但由 det A ≠ 0，齊次線性方程組 Ax = 0 只有零解（Cramer法則），即 x = 0，這就是說， BA - I 的每個列都是零，從而得到 BA = I。

Cramer法則（若det A ≠ 0，則齊次線性方程組 Ax = 0 只有零解）的證明（只用到行列式知識，不涉及矩陣）

設(shè) x=(x(1), ..., x(n))'，并把 A 的 n 個列依次記為 ξ(1), ..., ξ(n). 則等式 Ax = 0可以寫成
x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n) = 0

于是對于任何一個 j， 1≤j≤n，我們有

0 = det (ξ(1), ... , x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n), ... , ξ(n)) 其中x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n)位于第 j 個位置

=x(1) det (ξ(1), ... , ξ(1),...,ξ(n))+ ... + x(n) det (ξ(1), ... , ξ(n),...,ξ(n))

=x(j) det (ξ(1), ... , ξ(j),...,ξ(n)) 因為除了這一項，其他的行列式都有兩列相同而為零

=x(j) det A.

由 det A≠0 得 x(j) =0，由于 j 的任意性得到 x = 0，Cramer法則得證。

反例：去掉A 和B是矩陣這個背景，AB = I 就不蘊涵 BA=I 了

令 X 是所有平方收斂的實數(shù)列的全體，即 X 中的元素形如

(x(1), x(2), ..., x(n), ... ) 其中 x(1)^2 + x(2)^2 + ... + x(n)^2 +... < +∞。

X 在如下定義的加法和數(shù)乘下面成為實線性空間

(x(1), x(2), ..., x(n), ... ) + (y(1), y(2), ..., y(n), ... ) = (x(1)+y(1), x(2)+y(2), ..., x(n)+y(n), ... )

a (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) = (a x(1), a x(2), ..., a x(n), ... ) , a∈R

設(shè) A 和 B 是 X 上的線性變換，定義為：

A (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) = (x(2), x(3), ... , x(n+1), ...)
B (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) = (0, x(1), ..., x(n-1), ... )

通常將 A 和 B 分別稱為左推移和右推移。現(xiàn)在，不難驗證 AB = I，但

BA (e) = 0 ≠ e，其中 e=(1, 0, ..., 0, ...) ，所以 BA ≠ I。

[ Last edited by Pchief on 2010-11-6 at 01:40 ]

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回復(fù)此樓

39樓2010-11-06 01:35:24

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zc_deng78855

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好像是初學(xué)高代時就應(yīng)該想到的吧，貌似不難

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一個朋友的阿姨的妹妹說她很欣賞你

40樓2010-11-06 10:12:24

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