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hank612

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10樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-04-14 13:32:05
這個(gè)題目不需要用數(shù)學(xué)軟件計(jì)算吧？...

數(shù)學(xué)軟件讓我們看到要證明的不等式是:

(1- e^{-1}) |z| < |e^z -1| < (e-1) |z|, 當(dāng) |z| <1 時(shí).
然而 the more I see, the less I know.

我證明不了

上面的不等式, 想請教高明能否寫出嚴(yán)格證明.

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11樓2014-04-15 01:43:25

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11樓: Originally posted by hank612 at 2014-04-15 01:43:25
數(shù)學(xué)軟件讓我們看到要證明的不等式是:

(1- e^{-1}) |z| < |e^z -1| < (e-1) |z|, 當(dāng) |z| <1 時(shí).
然而 the more I see, the less I know.

我證明不了

上面的不等式, 想請教高明能否寫出嚴(yán)格證 ...

這只要用冪級數(shù)e^z=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{n!}代入\mid e^-1\mid中后用三角不等式進(jìn)行放縮就可以得到所要證明的不等式。

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12樓2014-04-15 03:17:09

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12樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-04-15 03:17:09
這只要用冪級數(shù)e^z=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{n!}代入\mid e^-1\mid中后用三角不等式進(jìn)行放縮就可以得到所要證明的不等式。...

我知道怎么證明 |e^z-1| < (e-1) |z|, 我想知道的是怎么證明
|e^z -1| > (1- e^{-1}) |z|.

我不想要 |e^z-1| > (3-e) |z| 這樣粗放的估計(jì), 因?yàn)?3-e=0.2817..,
1-e^{-1} =0.632 差的非常多.

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13樓2014-04-15 03:56:31

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當(dāng)0<x<1時(shí)，
｜e^x-1｜=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}
            =x  \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}
            =x(1+\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!})
            >=x(1-(\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}))
            >x(1-(\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n!}))
            =x(3-e)
這里當(dāng)x→1時(shí)，\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}→\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n!}=e-2
所以不等式｜e^z-1｜>(3-e)｜z｜不能改進(jìn)為｜e^z-1｜>(1-1/e)｜z｜

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14樓2014-04-15 04:14:20

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14樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-04-15 04:14:20
當(dāng)0<x<1時(shí)，
｜e^x-1｜=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}
            =x  \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}
            =x(1+\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!})
            &g ...

不妨檢查一下邏輯:

|e^x-1| >= x *(...).
當(dāng) x--> 1 時(shí), (...) =e-2, 然后你說:
所以不等式不能改進(jìn). 這有點(diǎn)風(fēng)馬牛不相及啊.

頂多說, 用你所述的放縮法, 不等式所能達(dá)到的最好程度.

定理: 當(dāng) |z|<1時(shí), |e^z -1| > (1-e^{-1}) |z|. 求證明. (由圖形可知, 定理成立).

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15樓2014-04-15 04:25:00

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15樓: Originally posted by hank612 at 2014-04-15 04:25:00
不妨檢查一下邏輯:

|e^x-1| >= x *(...).
當(dāng) x--> 1 時(shí), (...) =e-2, 然后你說:
所以不等式不能改進(jìn). 這有點(diǎn)風(fēng)馬牛不相及啊.

頂多說, 用你所述的放縮法, 不等式所能達(dá)到的最好程度.

定理: 當(dāng) ...

實(shí)數(shù)的情形都不能改進(jìn)，復(fù)數(shù)更不能夠，你所說的命題不成立

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16樓2014-04-15 04:31:30

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你不妨否證命題：
-1<x<0,｜e^x-1｜>(1-1/e)｜x｜
這個(gè)就是反例

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17樓2014-04-15 04:41:21

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17樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-04-15 04:41:21
你不妨否證命題：
-1<x<0,｜e^x-1｜>(1-1/e)｜x｜
這個(gè)就是反例...

反例在哪里呢
這是一個(gè)定理, 你如何找到反例的?

你具體找到一個(gè)復(fù)數(shù)z, 滿足0< |z|< 1 并且, |e^z-1| < = (1-e^(-1)) |z|, 這樣才能推翻該定理.

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18樓2014-04-15 04:58:39

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18樓: Originally posted by hank612 at 2014-04-15 04:58:39
反例在哪里呢
這是一個(gè)定理, 你如何找到反例的?

你具體找到一個(gè)復(fù)數(shù)z, 滿足0< |z|< 1 并且, |e^z-1| < = (1-e^(-1)) |z|, 這樣才能推翻該定理....

呵呵,搞錯(cuò)了,可以證明
對于實(shí)數(shù)0<｜x｜<1,有不等式｜e^x-1｜>(1-1/e)｜x｜
復(fù)數(shù)的情形如何證明還不清楚，請教了？

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19樓2014-04-15 05:14:08

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設(shè) $0<\mid z\mid<1$ ，試證： $\mid e^z-1\mid>(1-\frac{1}{e})\mid z\mid$

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20樓2014-04-17 19:03:24

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