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7樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-26 15:48:43
你的意思是：
a_0=1^2,a_1=2^2,a_{n+1}=(4\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}})^2(n\geq 1)
a_2=49=7^2=(4\times 2-1)^2
a_3=676=26^2=(4\times 7-2)^2
a_4=9409=97^2=(4\times 26-7)^2
a_5=131044=362^2=(4\times 97 ...

由萬能的歸納法可以證明, 若 $A=2+\sqrt{3}, B=2-\sqrt{3}$ , 那么,
$a_n=(\frac{A^n+B^n}{2})^2, b_n=\frac{(A^{2n}-B^{2n})\sqrt{3}}{6}$ . 這樣一來應(yīng)該可以證明你要的結(jié)果.

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We_must_know. We_will_know.

15樓2014-06-27 01:45:37

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Edstrayer

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引用回帖:

15樓: Originally posted by hank612 at 2014-06-27 01:45:37
由萬能的歸納法可以證明, 若A=2+\sqrt{3}, B=2-\sqrt{3}, 那么,
a_n=(\frac{A^n+B^n}{2})^2, b_n=\frac{(A^{2n}-B^{2n})\sqrt{3}}{6} . 這樣一來應(yīng)該可以證明你要的結(jié)果....

對(duì)的，找到 $a_n,b_n$ 的通項(xiàng)公式后就可以證明題目所要的結(jié)果，甚至可以導(dǎo)出更多的東東，……

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青蔥歲月圣誕夜，浪漫歌舞迎新年。

16樓2014-06-27 04:24:15

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Edstrayer

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引用回帖:

14樓: Originally posted by 仙木映月 at 2014-06-26 21:28:13
找到方法了，要寫個(gè)大概上來哦。我也很感興趣。我們可以繼續(xù)探討。...

是啊，證明過程有點(diǎn)煩，寫起來有點(diǎn)啰嗦，對(duì)于差分我蠻有興趣的，我想我們可以繼續(xù)探討一些有關(guān)的問題，……

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青蔥歲月圣誕夜，浪漫歌舞迎新年。

17樓2014-06-27 10:04:06

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仙木映月

金蟲 (正式寫手)

引用回帖:

17樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-27 11:04:06
是啊，證明過程有點(diǎn)煩，寫起來有點(diǎn)啰嗦，對(duì)于差分我蠻有興趣的，我想我們可以繼續(xù)探討一些有關(guān)的問題，……...

18樓2014-06-27 16:36:28

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hank612

至尊木蟲 (著名寫手)

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小木蟲: 金幣+0.5, 給個(gè)紅包，謝謝回帖
Edstrayer: 金幣+5, 很好的解法，很棒，很給力！ 2014-07-02 12:39:07
feixiaolin: 金幣+50, http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=7476193&fpage=4 獎(jiǎng)勵(lì) 2014-07-02 13:10:48
feixiaolin: 金幣+39, http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=7476193&fpage=4 獎(jiǎng)勵(lì) 2014-07-02 13:10:57

引用回帖:

17樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-27 10:04:06
是啊，證明過程有點(diǎn)煩，寫起來有點(diǎn)啰嗦，對(duì)于差分我蠻有興趣的，我想我們可以繼續(xù)探討一些有關(guān)的問題，……...

關(guān)于差分方程,可以看https://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation上的解法.

以Edstrayer 的貼子http://www.gaoyang168.com/bbs/viewthread.php?tid=7581094&fpage=2&target=self&page=1
為例, $a_{n+1}=7a_n+6b_n-3, b_{n+1}=8a_n+7b_n-4$ , 由于問題是僅關(guān)于a_n的性質(zhì), 我們只需要解出序列a_n即可.

如果令 $c_n=b_n+a_n, d_n=b_n-a_n,$ 那么 $d_{n+1}=c_{n}-1; c_{n+1}=14c_n-d_{n}-7$ . 換句話說, $c_{n+1}-14c_n+c_{n-1}+6=0$

通常我們都只考慮齊次的差分方程, 所以令 $x_n=c_{n}-1/2$ 滿足 $x_{n+1}-14x_n+x_{n-1}=0; x_0=\frac{1}{2}, x_1=\frac{15}{2}$ , 記得 $a_n=(c_n-d_n)/2=(c_n-c_{n-1}+1)/2=(x_n-x_{n-1}+1)/2.$

如果讓 $A=2+\sqrt{3}, B=A^{-1}=2-\sqrt{3}$ , 則 A^2, B^2 為二次方程x^2 -14x +1=0的兩個(gè)根.因此, $x_{n+1}-A^2 x_n=B^2(x_n-A^2 x_{n-1}); x_{n+1}-B^2 x_n=A^2(x_n-B^2 x_{n-1})$ .
這意味著, $x_{n+1}-A^2 x_n=B^{2n}(x_1-A^2 x_{0}); x_{n+1}-B^2 x_n=A^{2n}(x_1-B^2 x_{0})$ . 兩式相減, 得到
$x_n=\frac{A^{2n}(x_1-B^2x_0)-B^{2n}(x_1-A^2x_0)}{A^2-B^2}$ .

代入a_n的表達(dá)式, 化簡, 可得: $a_n=\left(\frac{A^n+B^n}{2}\right)^2$ .

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19樓2014-07-02 06:51:12

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chidonggua

銀蟲 (著名寫手)

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小木蟲: 金幣+0.5, 給個(gè)紅包，謝謝回帖

這個(gè)通項(xiàng)公式用JORDAN塊寫不出來么？？？？？？？？？？？

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20樓2014-07-02 08:22:31

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