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引用回帖:

2樓: Originally posted by hank612 at 2014-12-11 06:28:31
1. 任取可逆矩陣A, 那么I 的特征值和 A及A^{-1} 的特征值毫無關(guān)系.

2. I +DM 的特征值當(dāng)然是 1+(DM特征值)

可是由于所有的矩陣A都在可以找到一個(gè)酉矩陣U, 使的 U^T * A * U = D * M

其中D 是對(duì)角陣, ...

Can you give the proof of

所有的矩陣A都在可以找到一個(gè)酉矩陣U, 使的 U^T * A * U = D * M

其中D 是對(duì)角陣, M 是對(duì)稱陣

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12樓2014-12-13 20:49:49

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feixiaolin: 金幣+2 2014-12-14 07:54:54

引用回帖:

12樓: Originally posted by zaq123321 at 2014-12-13 20:49:49
Can you give the proof of

所有的矩陣A都在可以找到一個(gè)酉矩陣U, 使的 U^T * A * U = D * M

其中D 是對(duì)角陣, M 是對(duì)稱陣
...

我不知道具體證明' Wikipedia 上 symmetric matrix 中有一節(jié)提到該命題'
還有索引'引文中說這是Frobenius的結(jié)果'應(yīng)該挺靠譜的

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13樓2014-12-14 04:55:39

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引用回帖:

13樓: Originally posted by hank612 at 2014-12-14 04:55:39
我不知道具體證明' Wikipedia 上 symmetric matrix 中有一節(jié)提到該命題'
還有索引'引文中說這是Frobenius的結(jié)果'應(yīng)該挺靠譜的...

Can you post the webpage? I searched wikipedia but didn't find it.

http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_matrix

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14樓2014-12-14 06:58:47

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14樓: Originally posted by zaq123321 at 2014-12-14 06:58:47
Can you post the webpage? I searched wikipedia but didn't find it.

http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_matrix...

" Decomposition[edit]
Using the Jordan normal form, one can prove that every square real matrix can be written as a product of two real symmetric matrices, and every square complex matrix can be written as a product of two complex symmetric matrices.[4]
"
in the link you given: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_matrix

symmetric matrix.png

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15樓2014-12-14 08:14:49

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5樓: Originally posted by hank612 at 2014-12-13 03:33:59
考慮A=diag(a, a^{-1}), 2x2矩陣B=(a^{-1}+c, c; a-a^{-1}-c, a-c)

那么A 和B 的特征值都是 a, a^{-1}.

若c=\frac{x+x^{-1}-2}{a-a^{-1}}, 那么AB 的特征值是 x 與 x^{-1}.

由x 的任意性, 任何想從a 推 ...

謝謝

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16樓2014-12-14 09:17:13

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7樓: Originally posted by pippi6 at 2014-12-13 09:30:57
嗯，非常有意思的例子。我也驗(yàn)證了一下，確實(shí)， AB 的特征值不必是A的特征值乘以B的特征值。...

事實(shí)上，條件加強(qiáng)一下，這個(gè)關(guān)系是成立的：
若 A B是半正定的Hermite 陣，則
lamda_n(A)lamda_i(B)<=lamda_i(AB)<=lamda_1(A)lamda_i(B)
或者
lamda_i(A)lamda_n(B)<=lamda_i(AB)<=lamda_i(A)lamda_1(B)
(lamda_i(A)的表示A的特征值，lamda_1（A)>=........lamda_n(A))

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17樓2014-12-14 09:30:48

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15樓: Originally posted by hank612 at 2014-12-14 08:14:49
" Decomposition
Using the Jordan normal form, one can prove that every square real matrix can be written as a product of two real symmetric matrices, and every square complex matrix can be w ...

It said any matrix can be written as the product of two symmetric matrices. But your claim is different with that one. How to go further to get your claim? Thanks.

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18樓2014-12-14 09:52:10

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【答案】應(yīng)助回帖

1. On spectral radius, we have r(AB)<= r(A)r(B).

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19樓2014-12-14 23:14:56

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引用回帖:

10樓: Originally posted by zaq123321 at 2014-12-13 19:59:02
Let's do some math together. The product of eigenvalu was of AB is x*x^(-1)=1. The product of eigenvalues of A and eigenvalues of B is a*a^(-1)*a*a^(-1)=1. So 1=1. I think you misunderstood my clai ...

My appology I overlooked that you indeed said "products of eigenvalues of AB". If you were talking about products of eigenvalues of AB, that is simply the determinant of AB. So your claim was simply that determinant of AB equals determinant of A multiplied by determinant of B, and don't you think that is a little too trivial? The point of the discussion here is the collection of single eigenvalues of AB, and their relation to eigenvalues of A and B.

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20樓2014-12-15 08:58:09

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