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hylpy

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本習(xí)題跟weft的習(xí)題，是同一個(gè)問題。

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11樓2015-01-25 21:53:17

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hank612

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7樓: Originally posted by 終之太刀—曉 at 2015-01-25 15:28:37
感覺似乎是Euler-Maclaurin公式，希望以下鏈接能有所幫助：
http://pan.baidu.com/share/link?shareid=3692503162&uk=3357831772
此書第一章第三節(jié)。...

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Maclaurin_formula

確實(shí)如此。終之太刀—曉果然博聞廣識(shí)。

你的證明應(yīng)該是樓主原來問題最簡(jiǎn)單的答案了：由Euler-Maclaurin 公式, 顯然。

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We_must_know. We_will_know.

12樓2015-01-26 02:03:08

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hylpy: 金幣+1 2015-01-26 08:22:55

數(shù)學(xué)�。《季惋埑粤�，慚愧

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13樓2015-01-26 07:57:25

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我的解法:
[證明]:  將[0，1]分為n個(gè)等分小區(qū)間。
   此時(shí)有， $\int_{0}^{1}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx$
                  $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(\frac{i}{n})dx$
                  $\eta _{n}=\int_{0}^{1}f(x)dx-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})$
                  $=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx-\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})dx$
                  $=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}\left [ f(x)-f(\frac{i}{n}) \right ]dx$
                  $=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(x-\frac{i}{n})dx, \xi \epsilon \left [ \frac{i-1}{n},\frac{i}{n} \right ]$ 中值定理
                  $=-\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)dx, (\frac{i}{n}-x)> 0$
   設(shè) $x\epsilon \left [ \frac{i-1}{n} ,\frac{i}{n}\right ]$ 內(nèi)， $maxf'(x)=M_{i},minf'(x)=m_{i}$ ， $m_{i}\leqslant f'(\xi )\leqslant M_{i}$
            有 $m_{i}(\frac{i}{n}-x)\leqslant f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)\leqslant M_{i}(\frac{i}{n}-x)$
            有 $m_{i}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}(\frac{i}{n}-x)dx\leqslant \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)dx\leqslant M_{i}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}(\frac{i}{n}-x)dx$
         又因?yàn)?nbsp; $\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}(\frac{i}{n}-x)dx=\frac{1}{2n^{2}}$
      由上式    $m_{i}\leqslant \frac{\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)dx}{\frac{1}{2n_{2}}}\leqslant M_{i}$
                     $\frac{\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)dx}{\frac{1}{2n_{2}}}=f'(\varsigma ),\varsigma \epsilon \left [ \frac{i-1}{n},\frac{i}{n} \right ]$ ，中值定理，
             $\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)dx=f'(\varsigma )\frac{1}{2n^{2}}$
                     $n\eta _{n}=-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}f'(\varsigma )\frac{1}{n}=-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}f'(x)dx$
                     ∴ $\lim_{n \to \infty }n\eta _{n}=-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}f'(x)dx=\frac{1}{2}\left ( f(0)-f(1) \right )$

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14樓2015-01-27 10:27:45

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15樓2015-01-28 00:37:11

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hylpy: 金幣+1 2015-02-07 13:56:37

引用回帖:

14樓: Originally posted by hylpy at 2015-01-27 10:27:45
我的解法:
:  將分為n個(gè)等分小區(qū)間。
   此時(shí)有，\int_{0}^{1}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx
                  \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})=\sum_{i=1}^ ...

你這倒數(shù)第二行怎么出現(xiàn)的？

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16樓2015-02-07 00:46:01

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引用回帖:

16樓: Originally posted by wwwd at 2015-02-07 00:46:01
你這倒數(shù)第二行怎么出現(xiàn)的？
...

從第9行和倒數(shù)第3行，再乘以n推出的

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17樓2015-02-07 13:56:21

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