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tigou

木蟲 (正式寫手)

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10樓: Originally posted by tigou at 2015-08-16 08:53:00
更正
(4)~~\lim_{x\to+\infty}f(x)^{f(x)}=1

(6)~~\lim_{x\to+\infty}f(x)^{\frac{f(x)}{1-f(x)}}=1

(6)~~\lim_{x\to+\infty}xf(x)*f(x)^{\frac{f(x)}{1-f(x)}}=1...

繼續(xù)更正
$(7)~~\lim_{x\to+\infty}xf(x)*f(x)^{\frac{f(x)}{1-f(x)}}=1$
補(bǔ)充一個(gè)結(jié)論. 不能通過（2）導(dǎo)出
$(8)~~\lim_{x\to+\infty}1-f(x)=1$

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11樓2015-08-16 09:04:13

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tigou

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11樓: Originally posted by tigou at 2015-08-16 09:04:13
繼續(xù)更正
(7)~~\lim_{x\to+\infty}xf(x)*f(x)^{\frac{f(x)}{1-f(x)}}=1
補(bǔ)充一個(gè)結(jié)論. 不能通過（2）導(dǎo)出
(8)~~\lim_{x\to+\infty}1-f(x)=1...

繼續(xù)更正
$(7)~~\lim_{x\to+\infty}xf(x)*f(x)^{\frac{f(x)}{1-f(x)}}=+\infty$

對(duì)公式編號(hào)有一個(gè)好處，即使不小心弄錯(cuò)了，修改起來也方便，便于檢查核對(duì)。

個(gè)人感覺，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明1樓命題需要對(duì)海涅定理進(jìn)行改造。當(dāng)然，我的直覺并不是每次都對(duì)。無論如何，有人相互交流比一個(gè)人冥思苦想的效率高，所以衷心感謝hank612的無私幫助。

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12樓2015-08-16 10:32:51

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拉馬之仆

銀蟲 (小有名氣)

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★ ★ ★ ★ ★
tigou(feixiaolin代發(fā)): 金幣+5 2015-08-17 19:27:03

引用回帖:

5樓: Originally posted by tigou at 2015-08-15 16:54:50
盡管無人參與討論，我仍然想說：1樓命題（不妨稱之為無窮大極限猜想）和我3月份就提出的二級(jí)函數(shù)猜想共同表明，到目前為止，人類對(duì)實(shí)數(shù)的認(rèn)識(shí)還存在大片盲區(qū)，這種認(rèn)識(shí)盲區(qū)在自然數(shù)那里就已經(jīng)存在了，只不過以往人們 ...

好吧，樓主的命題其實(shí)非常簡(jiǎn)單，基本上是微積分入門式的習(xí)題。好在我本來也只是個(gè)剛?cè)腴T的菜鳥，不怕別人為我的智商捉急。希望我的證明能讓樓主滿意。(順便練習(xí)一下LaTeX語法)
$(1^{\circ})\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=+\infty\Rightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x=+\infty\wedge\lim\limits_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}=+\infty$
我們先來證明當(dāng) $x\to +\infty$ 時(shí)， $f(x)$ 是有界的。用反證法。
假設(shè)當(dāng) $x\to +\infty$ 時(shí)， $f(x)$ 無界，
因 $\lim\limits_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}>0$ ,
而 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\ast\lim\limits_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}=+\infty>0$ ,
故 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)>0$ ,
由假設(shè)知必有 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ 。
由于當(dāng) $x\to +\infty$ 時(shí)， $x^{f(x)-1}$ 為比 $f(x)-1$ 高階的無窮大量(這一點(diǎn)樓主一定能理解吧？)，
故有 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)-1}{x^{f(x)-1}}+\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{f(x)-1}}=0+0=0$ ，
但這與假設(shè)相矛盾，這就證明了當(dāng) $x\to +\infty$ 時(shí)， $f(x)$ 有界。
再來證明 $0<\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)<1$ 。
因 $\lim\limits_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}>0$ ,
且 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\ast\lim\limits_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}=+\infty>0$ ,
故 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)>0$ ,
假設(shè) $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1$ ，則
$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=1\neq +\infty$ ，
這與前提相矛盾，故 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\neq 1$ 。
又設(shè) $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)>1$ ，
則 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}<\lim\limits_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{f(x)-1}}=0$ ,
這也與前提相矛盾。故必有 $0<\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)<1$ ，
于是顯然有(樓主自己證明)：
$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x=+\infty$ 且 $\lim\limits_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}=+\infty$
$(2^{\circ})\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x=+\infty\wedge\lim\limits_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}=+\infty\Rightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=+\infty$
由 $\lim\limits_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}=+\infty$ 易得 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)<1$ ，
由 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x=+\infty$ 易得 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)>1$ ，
即 $0<\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)<1$ ，
于是顯然有(樓主自己證明)：
$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=+\infty$ 。

另外，關(guān)于無窮大的性質(zhì)，無非是階的比較的問題，羅比塔法則就是研究這一問題的非常成熟的一種方法和技巧。個(gè)人斗膽認(rèn)為，籠罩在經(jīng)典分析上的兩朵烏云之下，并沒有隱藏什么數(shù)學(xué)烏托邦。

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13樓2015-08-16 10:43:03

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13樓: Originally posted by 拉馬之仆 at 2015-08-16 10:43:03
好吧，樓主的命題其實(shí)非常簡(jiǎn)單，基本上是微積分入門式的習(xí)題。好在我本來也只是個(gè)剛?cè)腴T的菜鳥，不怕別人為我的智商捉急。希望我的證明能讓樓主滿意。(順便練習(xí)一下LaTeX語法)
(1^{\circ})\lim\limits_{x\to+\inf ...

$(2^{\circ})\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x=+\infty\wedge\lim\limits_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}=+\infty\Rightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=+\infty$
由 $\lim\limits_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}=+\infty$ 易得 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)<1$ ，
由 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x=+\infty$ 易得 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)>0$ (此處原有筆誤)，
即 $0<\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)<1$ ，
于是顯然有(樓主自己證明)：
$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=+\infty$ 。

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14樓2015-08-16 10:52:27

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引用回帖:

討論問題無關(guān)智商高低。但是你的推導(dǎo)的確存在巨大錯(cuò)誤。以其中一個(gè)結(jié)論為例：
$(a)~~0<\lim_{x\to+\infty}f(x)<1$
這個(gè)結(jié)論就錯(cuò)得離譜，例如
$f(x)=\frac{\ln x}{x}$
就不滿足(a)，但滿足題設(shè)條件。希望您再仔細(xì)斟酌下，謝謝。

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15樓2015-08-16 10:58:01

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15樓: Originally posted by tigou at 2015-08-16 10:58:01
討論問題無關(guān)智商高低。但是你的推導(dǎo)的確存在巨大錯(cuò)誤。以其中一個(gè)結(jié)論為例：
(a)~~0<\lim_{x\to+\infty}f(x)<1
這個(gè)結(jié)論就錯(cuò)得離譜，例如
f(x)=\frac{\ln x}{x}
就不滿足(a)，但滿足題設(shè)條件。希望您再 ...

不用斟酌，我知道樓主埋著炸彈呢。呵呵

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16樓2015-08-16 11:05:13

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羅比塔法則只對(duì)可導(dǎo)函數(shù)有效，嚴(yán)格說來，不可導(dǎo)函數(shù)比可導(dǎo)函數(shù)要多得多。此外，在廣義乘的框架內(nèi)，微積分運(yùn)算僅僅處在1級(jí)運(yùn)算的層次。事實(shí)上，幾乎可以證明這樣的定理：

假設(shè)f是由四則運(yùn)算和微積分運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)（這種說法雖然粗糙，但意思你懂的），并且在正無窮大的某鄰域上有定義，則

$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{2^x}=0$

所有這些結(jié)論，都只局限在2級(jí)運(yùn)算以內(nèi)。但涉及到3級(jí)以上的運(yùn)算，情況就不一樣了。而且，假如不利用廣義乘的思路，你甚至都無法覺察到微積分運(yùn)算就是1級(jí)乘的近親。

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17樓2015-08-16 11:13:57

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hank612

至尊木蟲 (著名寫手)

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9樓: Originally posted by tigou at 2015-08-16 08:42:43
這里只討論右推左的情況（盡管你左推右過程中的錯(cuò)誤更大）。你的推導(dǎo)過程關(guān)鍵是利用了
(1)~~\lim_{t\to 0+}t^t=1
但你好像忘記了
(2)~~\liminf_{x\to+\infty}f(x)=0
與
(3)~~\lim_{x\to+\infty}f(x)=0
是有區(qū) ...

我們又在重復(fù)Newton, Leibniz 關(guān)于極限有用但不嚴(yán)密的理論，還是回到Weierstrass, Cauchy $\epsilon-\delta$ 語言的嚴(yán)密路子上吧。

我想麻煩樓主證明兩個(gè)引理先。設(shè)a>0, x>e.
引理1： $ax^{1-a}>\min(0.1x^{1-a},0.1^{0.1}(xa)^{0.9})$

引理2： $\min(xa,x^{1-a})>ax^{1-a}-1$

然后利用這些不等式，采用 $\epsilon-\delta$ 語言，看看能否證明樓主的猜想。辛苦了。

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We_must_know. We_will_know.

18樓2015-08-17 01:45:33

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tigou

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18樓: Originally posted by hank612 at 2015-08-17 01:45:33
我們又在重復(fù)Newton, Leibniz 關(guān)于極限有用但不嚴(yán)密的理論，還是回到Weierstrass, Cauchy \epsilon-\delta語言的嚴(yán)密路子上吧。

我想麻煩樓主證明兩個(gè)引理先。設(shè)a>0, x>e.
引理1： ax^{1-a}>\min ...

這個(gè)思路不可行。因?yàn)槲以?jīng)想利用夾逼準(zhǔn)則，進(jìn)行過類似的嘗試，發(fā)現(xiàn)行不通。麻煩的關(guān)鍵是，對(duì)于形如：
$yx^{1-y}$
這樣的函數(shù)而言，y是常數(shù)和不是常數(shù)時(shí)的性質(zhì)大不一樣。如果您不信，可以先假設(shè)兩個(gè)“引理”成立，依然證明不了1樓命題。

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19樓2015-08-17 08:39:17

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