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Edstrayer

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10樓: Originally posted by Mr__Right at 2016-05-04 12:51:33
樓主，你那個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)的結(jié)果可以推廣到更一般的形式，是否能證明？

\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)^{2m+1}}=\frac{E_{2m}}{2\cdot(2m)!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2m+1},m\in\mathbb{N}

E_{2 ...

你這個(gè)推廣對(duì)m=1就不成立，更別說(shuō)一般的m了！
m=1時(shí)，你的級(jí)數(shù)等式為：

$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}=\frac{-1}{2\times 2!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^3$

這里Euler數(shù) $E_{2}=-1$
而我的級(jí)數(shù)等式為

$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}=\frac{\pi^3}{32}$

兩者差一個(gè)符號(hào)。

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11樓2016-05-04 13:39:17

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11樓: Originally posted by Edstrayer at 2016-05-04 13:39:17
你這個(gè)推廣對(duì)m=1就不成立，更別說(shuō)一般的m了！
m=1時(shí)，你的級(jí)數(shù)等式為：
\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}=\frac{-1}{2\times 2!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^3
這里Euler數(shù)E_{2}=-1
而 ...

我修正了。你再看看

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12樓2016-05-04 13:55:10

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12樓: Originally posted by Mr__Right at 2016-05-04 13:55:10
我修正了。你再看看

...

看了，恒等式對(duì)m=0，m=1直接驗(yàn)證可知成立，對(duì)于m>1如何驗(yàn)證冷在思考中

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13樓2016-05-04 16:23:08

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10樓: Originally posted by Mr__Right at 2016-05-04 12:51:33
樓主，你那個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)的結(jié)果可以推廣到更一般的形式，是否能證明？

\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)^{2m+1}}=\frac{(-1)^m E_{2m}\pi^{2m+1}}{4^{m+1}(2m)!},m\in\mathbb{N}

E_{2m}是一個(gè)整數(shù)數(shù)列 ...

你這個(gè)推廣是錯(cuò)的，
m=0,m=1可以驗(yàn)證是正確的
但是m=2時(shí)結(jié)果就不對(duì)

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14樓2016-05-07 19:00:51

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14樓: Originally posted by Edstrayer at 2016-05-07 19:00:51
你這個(gè)推廣是錯(cuò)的，
m=0,m=1可以驗(yàn)證是正確的
但是m=2時(shí)結(jié)果就不對(duì)...

是你驗(yàn)證錯(cuò)了，左邊和右邊此時(shí)都是 $\dfrac{5\pi^5}{1536}$

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15樓2016-05-07 19:07:36

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還是不明白化成了級(jí)數(shù)形式，該如何求那個(gè)級(jí)數(shù)的和

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16樓2016-05-07 19:13:39

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15樓: Originally posted by Mr__Right at 2016-05-07 19:07:36

是你驗(yàn)證錯(cuò)了，左邊和右邊此時(shí)都是 \dfrac{5\pi^5}{1536}...

我算的是 $\frac{9\pi^5}{1536}$

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17樓2016-05-07 19:17:01

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18樓2016-05-08 00:11:42

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Mr__Right

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17樓: Originally posted by Edstrayer at 2016-05-07 19:17:01
我算的是\frac{9\pi^5}{1536}...

難點(diǎn)是左邊無(wú)窮級(jí)數(shù)的計(jì)算；你可以找個(gè)Mathematica或者M(jìn)aple驗(yàn)證下就知道自己是不是對(duì)

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19樓2016-05-08 09:06:54

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19樓: Originally posted by Mr__Right at 2016-05-08 09:06:54
難點(diǎn)是左邊無(wú)窮級(jí)數(shù)的計(jì)算；你可以找個(gè)Mathematica或者M(jìn)aple驗(yàn)證下就知道自己是不是對(duì)...

我用理論計(jì)算，得到的是精確結(jié)果��！你是怎么算的？

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20樓2016-05-08 09:42:48

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