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Edstrayer

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[交流] 一道反常積分的習(xí)題

題目：試計算下面的反常積分：

$\int_0^{+\infty}\frac{(\ln x)^2}{1+x^2}dx=?$

并由此推出下面的無窮級數(shù)恒等式：

$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n+1)^3}=\frac{\pi^3}{32}$

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1樓 2016-05-02 01:10:49

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5樓: Originally posted by xujj2112 at 2016-05-02 15:09:30
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...

可以嘗試先求解這個積分：
$\int_0^1x^n\ln(x)^2{\rm d}x$
變量代換 $t=\dfrac{1}{x}$ 再試試。

同時考察
$\dfrac{1}{1+x^2}$ 的級數(shù)形式。

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7樓2016-05-03 20:06:06

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樓主，你那個無窮級數(shù)的結(jié)果可以推廣到更一般的形式，是否能證明？

$\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)^{2m+1}}=\frac{(-1)^m E_{2m}\pi^{2m+1}}{4^{m+1}(2m)!},m\in\mathbb{N}$

$E_{2m}$ 是一個整數(shù)數(shù)列（歐拉數(shù)列）中的項，詳細定義參考維基：
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_number

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10樓2016-05-04 12:51:33

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25樓2016-05-10 18:52:08

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2樓2016-05-02 10:37:15

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Edstrayer: 金幣+2 2016-05-02 16:59:20

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2樓: Originally posted by xujj2112 at 2016-05-02 10:37:15
第一個反常積分 Ln x 如果沒有平方的話等于0，有平方不知道怎么算了

$\dfrac{\pi^3}{8}$

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3樓2016-05-02 14:16:08

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3樓: Originally posted by Mr__Right at 2016-05-02 14:16:08
\dfrac{\pi^3}{8}

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求過程。。。我就只會用級數(shù)來計算那個積分，不過好像級數(shù)不好求。我記得歐拉對這個級數(shù)給出過一個不嚴格的求法

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6樓2016-05-03 12:47:58

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6樓: Originally posted by i維數(shù) at 2016-05-03 12:47:58
求過程。。。我就只會用級數(shù)來計算那個積分，不過好像級數(shù)不好求。我記得歐拉對這個級數(shù)給出過一個不嚴格的求法

的確，難點在第二個問題。

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8樓2016-05-03 20:33:55

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用含參變量積分行不行？一個思路

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9樓2016-05-04 06:51:08

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