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[交流] 關于差分遞推的一個習題

例A 設數(shù)列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 滿足條件 $a_0=1,b_0=0$ 且

$\left\{\begin{array}{c}a_{n+1}=7a_n+6b_n-3\\b_{n+1}=8a_n+7b_n-4\end{array}\right.,n=0,1,2,\cdots$

試證： $a_n(n=0,1,2,\cdots)$ 是完全平方數(shù)。

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1樓 2014-06-26 07:35:40

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7樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-26 15:48:43
你的意思是：
a_0=1^2,a_1=2^2,a_{n+1}=(4\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}})^2(n\geq 1)
a_2=49=7^2=(4\times 2-1)^2
a_3=676=26^2=(4\times 7-2)^2
a_4=9409=97^2=(4\times 26-7)^2
a_5=131044=362^2=(4\times 97 ...

由萬能的歸納法可以證明, 若 $A=2+\sqrt{3}, B=2-\sqrt{3}$ , 那么,
$a_n=(\frac{A^n+B^n}{2})^2, b_n=\frac{(A^{2n}-B^{2n})\sqrt{3}}{6}$ . 這樣一來應該可以證明你要的結果.

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We_must_know. We_will_know.

15樓2014-06-27 01:45:37

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14樓: Originally posted by 仙木映月 at 2014-06-26 21:28:13
找到方法了，要寫個大概上來哦。我也很感興趣。我們可以繼續(xù)探討。...

是啊，證明過程有點煩，寫起來有點啰嗦，對于差分我蠻有興趣的，我想我們可以繼續(xù)探討一些有關的問題，……

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17樓2014-06-27 10:04:06

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仙木映月

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得到an從第三項開始的遞推公式了：a[n+1]=(a[n]*4-a[n-1])^2;
驗證了a[3]到a[6]都是對的。

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Hardtosay.

2樓2014-06-26 08:16:58

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使用Z變換即可解出an、bn與n的關系表達式，由此決定問題命題的成立與否。

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3樓2014-06-26 09:27:07

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2樓: Originally posted by 仙木映月 at 2014-06-26 08:16:58
得到an從第三項開始的遞推公式了：a=(a*4-a)^2;
驗證了a到a都是對的。

直接計算可以得到：

$\left\{\begin{array}{c}a_0=1\\b_0=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a_1=4\\b_1=4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a_2=49\\b_2=56\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a_3=676\\b_3=780\end{array}\right.$

但是， $a_3\neq(4a_2-a_1)^2(since 676=26^2\neq(4\times 49-4)^2)$ ，這表明2樓給出的遞推公式不正確�！�

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4樓2014-06-26 11:05:08

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4樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-26 12:05:08
直接計算可以得到：
\left\{\begin{array}{c}a_0=1\\b_0=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a_1=4\\b_1=4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a_2=49\\b_2=56\end{array}\right.\left\{\begin{arr ...

26=7*4-2

97=26*4-7

362=97*4-26

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Hardtosay.

5樓2014-06-26 12:21:19

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還有

7=2*4-1

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Hardtosay.

6樓2014-06-26 12:24:17

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6樓: Originally posted by 仙木映月 at 2014-06-26 12:24:17
還有

7=2*4-1...

你的意思是：

$a_0=1^2,a_1=2^2,a_{n+1}=(4\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}})^2(n\geq 1)$

$a_2=49=7^2=(4\times 2-1)^2$

$a_3=676=26^2=(4\times 7-2)^2$

$a_4=9409=97^2=(4\times 26-7)^2$

$a_5=131044=362^2=(4\times 97-26)^2$

$a_6=1825201=1351^2=(4\times 362-97)^2$

$a_7=25421764=5042^2=(4\times1351-362)^2$

……………………………………………………………………………………
那么如何證明等式：

$a_0=1^2,a_1=2^2,a_{n+1}=(4\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}})^2(n\geq 1)$

用數(shù)學歸納法嗎？

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7樓2014-06-26 15:48:43

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證明了這個遞推等式倒是可以很快證明（用數(shù)學歸納法） $a_n(n\geq 0)$ 都是完全平方數(shù)。………………………………………………………………

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8樓2014-06-26 16:07:29

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7樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-06-26 16:48:43
你的意思是：
a_0=1^2,a_1=2^2,a_{n+1}=(4\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}})^2(n\geq 1)
a_2=49=7^2=(4\times 2-1)^2
a_3=676=26^2=(4\times 7-2)^2
a_4=9409=97^2=(4\times 26-7)^2
a_5=131044=362^2=(4\times 97 ...

就是這個意思。

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9樓2014-06-26 16:35:26

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你這公式打得挺漂亮的。

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10樓2014-06-26 16:35:51

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