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Edstrayer

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[交流] 一個(gè)復(fù)數(shù)不等式已有3人參與

一個(gè)復(fù)數(shù)不等式：

復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)的不等式001.gif

Let $0<\mid z\mid <1$ ,please proof :

$\frac{1}{4}\mid z\mid<\mid e^z-1\mid<\frac{7}{4}\mid z\mid$

[ Last edited by Edstrayer on 2014-4-29 at 19:35 ]

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1樓 2014-04-12 16:37:13

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dfsvdf

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2樓: Originally posted by feixiaolin at 2014-04-12 17:47:50
取z=x+iy
轉(zhuǎn)變成實(shí)函數(shù) sqrt((exp(2*x)-2*exp(x)*cos(y)+1)/(x^2+y^2)) 求極值？

不對(duì)。e^z-1的值為：

1.png

編輯：上面的內(nèi)容是錯(cuò)的，2樓的是對(duì)的

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3樓2014-04-12 18:06:13

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feixiaolin

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取z=x+iy
轉(zhuǎn)變成實(shí)函數(shù) sqrt((exp(2*x)-2*exp(x)*cos(y)+1)/(x^2+y^2)) 求極值？

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2樓2014-04-12 17:47:50

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2樓: Originally posted by feixiaolin at 2014-04-12 17:47:50
取z=x+iy
轉(zhuǎn)變成實(shí)函數(shù) sqrt((exp(2*x)-2*exp(x)*cos(y)+1)/(x^2+y^2)) 求極值？

用求極值的方法不好解吧？
這個(gè)不等式可以改進(jìn)為：
設(shè)0<\mid z\mid<1，試證：
(3-e)\mid z\mid<\mid e^z-1\mid<(e-1)\mid z\mid.

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4樓2014-04-12 18:08:42

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我覺(jué)得應(yīng)該對(duì)于|e^z-1|^2，先變換，再展開(kāi)。
把(siny)^2換為1-(cosy)^2，把(cosy)^2換為(cos2y+1)/2,
再把e^(2x),e^x,cosy按照麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)。
接下來(lái)的處理就看你了

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5樓2014-04-12 18:23:35

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