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華工大慶新蟲(chóng) (初入文壇)
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[求助]
矩陣及其子矩陣的奇異值之間的不等式或者等式關(guān)系
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我是工科專(zhuān)業(yè)的，最近把領(lǐng)域內(nèi)的一個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)矩陣的奇異值分解的問(wèn)題； 描述：一個(gè)大的方陣，從中任意抽出一個(gè)低維度的方陣，那么這兩個(gè)矩陣的奇異值有什么不等式或者等式關(guān)系？？例如 原矩陣為5x5，抽出3x3，則都進(jìn)行奇異值分解，那么兩個(gè)矩陣的奇異值有什么關(guān)系？ 萬(wàn)分感謝了，求大神��！ |
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aaron1988
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【答案】應(yīng)助回帖
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
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我不太確定你小的矩陣怎么取。 下面是一個(gè)特別的情況 假設(shè)大矩陣為 B 維數(shù)是mXm， 小矩陣為S，維數(shù)是nXn。 如果大矩陣跟小矩陣存在關(guān)系為 P'B‘BP=S‘S, P 是轉(zhuǎn)換矩陣，維數(shù)是mXn。 假設(shè)B是做SVD分解= S* V* D,其中V是奇異值，S,D都是unitary matrix （i.e. S'S=I） 上面式子就是 P'D'V'V DP = P‘D’ V^2 DP = S'S 同樣對(duì)小矩陣S做SVD分解， S= TYU 那么P’D'V^2 D'P = U'Y^2U 其中V跟Y分別是B跟S的奇異值。 這就是你要的關(guān)系，最大的問(wèn)題是你怎么取P！ |
2樓2013-07-04 10:05:13
hyit_lxq
木蟲(chóng) (小有名氣)
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3樓2013-07-04 12:14:38
hyit_lxq
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【答案】應(yīng)助回帖
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上述結(jié)論可證，依據(jù)是 Poincare 分離定理。但沒(méi)有 E(k-j)(B)>=E(n-j)(A), j=0,1,...,k-1. 反例： A= 5 8 2 6 4 10 7 9 8 10 1 5 7 2 6 4 B= 5 2 6 8 1 5 7 6 4 則A的奇異值為： 24.4924 6.4060 5.3395 0.7592 B的奇異值為： 15.3963 3.8311 2.0684 更多驗(yàn)證可運(yùn)行如下Matlab程序： n=randi([2,8]); A=randi(10,n,n); N=randperm(n); p=min(randi([2,8]),n); P=sort(N(1:p)); B=A(P,P); svd(A), svd(B) |
4樓2013-07-04 12:23:02
5樓2013-07-05 02:33:47
6樓2013-07-05 09:03:26
華工大慶
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非常感謝您的回答，這里的小矩陣是可以任意取出來(lái)，比如任意選定三行，在選定三列，則可以得到一個(gè)小矩陣。您的回答是需要兩個(gè)矩陣存在關(guān)系的，但是想想一下，一個(gè)5x5的矩陣的子矩陣數(shù)目（1,2,3,4,5維）可以有(2.^5-1)*(2.^5-1) 個(gè)。這個(gè)就太泛了。說(shuō)簡(jiǎn)單點(diǎn)，就是我后面的問(wèn)題要用到這個(gè)矩陣的奇異值，就是我有一個(gè)以這些矩陣的奇異值為變量的函數(shù)。給你一個(gè)5維的矩陣，算出奇異值，帶入函數(shù)，不一定是最大的，可能子矩陣的某些矩陣，如一個(gè)3維的，分解出奇異值后，帶入函數(shù)反而更大，我就要從原矩陣5x5中找到一個(gè)使目標(biāo)函數(shù)最大的矩陣（實(shí)際上是因?yàn)榉纸夂蟮钠娈愔凳悄繕?biāo)函數(shù)最大），這么說(shuō)，您能理解嗎？謝謝您的幫助！希望您能再給些指導(dǎo)！ |
7樓2013-07-05 15:22:28
華工大慶
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8樓2013-07-05 15:25:39
hyit_lxq
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9樓2013-07-05 19:56:59
華工大慶
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10樓2013-07-06 12:45:57
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