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華工大慶

新蟲(chóng) (初入文壇)

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[求助] 矩陣及其子矩陣的奇異值之間的不等式或者等式關(guān)系

我是工科專業(yè)的，最近把領(lǐng)域內(nèi)的一個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)矩陣的奇異值分解的問(wèn)題；
描述：一個(gè)大的方陣，從中任意抽出一個(gè)低維度的方陣，那么這兩個(gè)矩陣的奇異值有什么不等式或者等式關(guān)系？？例如原矩陣為5x5，抽出3x3，則都進(jìn)行奇異值分解，那么兩個(gè)矩陣的奇異值有什么關(guān)系？

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1樓 2013-07-04 09:05:08

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hyit_lxq

木蟲(chóng) (小有名氣)

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【答案】應(yīng)助回帖

上述結(jié)論可證，依據(jù)是 Poincare 分離定理。但沒(méi)有 E(k-j)(B)>=E(n-j)(A), j=0,1,...,k-1.

反例：
A= 5    8    2    6
   4 10    7    9
   8 10    1    5
   7    2    6    4
B= 5    2    6
   8    1    5
   7    6    4
則A的奇異值為：
  24.4924
6.4060
5.3395
0.7592
B的奇異值為：
  15.3963
3.8311
2.0684

更多驗(yàn)證可運(yùn)行如下Matlab程序：

n=randi([2,8]); A=randi(10,n,n);
N=randperm(n); p=min(randi([2,8]),n); P=sort(N(1:p)); B=A(P,P);
svd(A), svd(B)

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4樓2013-07-04 12:23:02

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aaron1988

木蟲(chóng) (正式寫手)

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

我不太確定你小的矩陣怎么取。

下面是一個(gè)特別的情況
假設(shè)大矩陣為 B 維數(shù)是mXm，小矩陣為S，維數(shù)是nXn。
如果大矩陣跟小矩陣存在關(guān)系為 P'B‘BP=S‘S, P 是轉(zhuǎn)換矩陣，維數(shù)是mXn。
假設(shè)B是做SVD分解= S* V* D,其中V是奇異值，S,D都是unitary matrix （i.e. S'S=I）
上面式子就是 P'D'V'V DP = P‘D’ V^2 DP = S'S
同樣對(duì)小矩陣S做SVD分解， S= TYU
那么P’D'V^2 D'P = U'Y^2U
其中V跟Y分別是B跟S的奇異值。
這就是你要的關(guān)系，最大的問(wèn)題是你怎么取P！

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2樓2013-07-04 10:05:13

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hyit_lxq

木蟲(chóng) (小有名氣)

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

記 A 為 n 階方陣, Ei(A) 為 A 的第 i 大奇異值; B 為 A 的 k 階子矩陣, Ei(B) 為 B 的第 i 大奇異值。則: Ei(B)<=Ei(A), i=1,...,k.

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3樓2013-07-04 12:14:38

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Halmos

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

Check Horn and Johnson's Topics in Matrix Analysis, singular value inequalities

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5樓2013-07-05 02:33:47

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