一個(gè)復(fù)數(shù)不等式
一個(gè)復(fù)數(shù)不等式：
復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)的不等式001.gif
Let [latex]0<\mid z\mid <1[/latex],please proof :
[latex]\frac{1}{4}\mid z\mid<\mid e^z-1\mid<\frac{7}{4}\mid z\mid[/latex]
[ Last edited by Edstrayer on 2014-4-29 at 19:35 ]
返回小木蟲(chóng)查看更多
今日熱帖
京公網(wǎng)安備 11010802022153號(hào)
取z=x+iy
轉(zhuǎn)變成 實(shí)函數(shù) sqrt((exp(2*x)-2*exp(x)*cos(y)+1)/(x^2+y^2)) 求極值？
不對(duì)。e^z-1的值為：
1.png
編輯：上面的內(nèi)容是錯(cuò)的，2樓的是對(duì)的
，
用求極值的方法不好解吧？
這個(gè)不等式可以改進(jìn)為：
設(shè)0<\mid z\mid<1，試證：
(3-e)\mid z\mid<\mid e^z-1\mid<(e-1)\mid z\mid.
我覺(jué)得應(yīng)該對(duì)于|e^z-1|^2，先變換，再展開(kāi)。
把(siny)^2換為1-(cosy)^2，把(cosy)^2換為(cos2y+1)/2,
再把e^(2x),e^x,cosy按照麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)。
接下來(lái)的處理就看你了
考慮到 解析函數(shù) f(z)=(e^z-1)/z 的最大值和最小值只在邊界 |z|=1上取到， 因此畫(huà)了兩個(gè)圖： 一個(gè)是 (e^z-1)的圖像， with |z|=1 （紅色）, 另一個(gè)是模 |e^z-1| （藍(lán)色）. 貌似 min=1-e^{-1}, max=e-1.哪位大神能嚴(yán)格證明之？
Matlab 源程序：
N=500; th = 0:pi/N:2*pi;
a =exp(cos(th)).*cos(sin(th))-1;
b =exp(cos(th)).*sin(sin(th));
c =sqrt(a.^2 +b.^2);
plot( a, b, 'r', th, c,'b')
Emuch007.png
單獨(dú)出一項(xiàng)sin^2(y) 有問(wèn)題。