一個復數(shù)不等式
一個復數(shù)不等式：
復變函數(shù)復數(shù)的不等式001.gif
Let [latex]0<\mid z\mid <1[/latex],please proof :
[latex]\frac{1}{4}\mid z\mid<\mid e^z-1\mid<\frac{7}{4}\mid z\mid[/latex]
[ Last edited by Edstrayer on 2014-4-29 at 19:35 ]
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京公網(wǎng)安備 11010802022153號
嗯，是的，我錯了
這個題目不需要用數(shù)學軟件計算吧？
數(shù)學軟件讓我們看到要證明的不等式是:
(1- e^{-1}) |z| < |e^z -1| < (e-1) |z|, 當 |z| <1 時.
然而 the more I see, the less I know.
我證明不了上面的不等式, 想請教高明能否寫出嚴格證明.
這只要用冪級數(shù)e^z=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{n!}代入\mid e^-1\mid中后用三角不等式進行放縮就可以得到所要證明的不等式。
我知道怎么證明 |e^z-1| < (e-1) |z|, 我想知道的是怎么證明
|e^z -1| > (1- e^{-1}) |z|.
我不想要 |e^z-1| > (3-e) |z| 這樣粗放的估計, 因為 3-e=0.2817..,
1-e^{-1} =0.632 差的非常多.
當0<x<1時，
｜e^x-1｜=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}
=x \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}
=x(1+\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!})
>=x(1-(\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}))
>x(1-(\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n!}))
=x(3-e)
這里當x→1時，\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}→\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n!}=e-2
所以不等式｜e^z-1｜>(3-e)｜z｜不能改進為｜e^z-1｜>(1-1/e)｜z｜
不妨檢查一下邏輯:
|e^x-1| >= x *(...).
當 x--> 1 時, (...) =e-2, 然后 你說:
所以 不等式不能改進. 這有點風馬牛不相及啊.
頂多說, 用你所述的放縮法, 不等式所能達到的最好程度.
定理: 當 |z|<1時, |e^z -1| > (1-e^{-1}) |z|. 求證明. (由圖形可知, 定理成立)
，
實數(shù)的情形都不能改進，復數(shù)更不能夠，你所說的命題不成立