關(guān)于差分遞推的一個(gè)習(xí)題
例A 設(shè)數(shù)列[latex]\{a_n\}[/latex]和[latex]\{b_n\}[/latex]滿(mǎn)足條件[latex]a_0=1,b_0=0[/latex]且
[latex]\left\{\begin{array}{c}a_{n+1}=7a_n+6b_n-3\\b_{n+1}=8a_n+7b_n-4\end{array}\right.,n=0,1,2,\cdots[/latex]
試證：[latex]a_n(n=0,1,2,\cdots)[/latex]是完全平方數(shù)。
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京公網(wǎng)安備 11010802022153號(hào)
得到an從第三項(xiàng)開(kāi)始的遞推公式了：a[n+1]=(a[n]*4-a[n-1])^2;
驗(yàn)證了a[3]到a[6]都是對(duì)的。
使用Z變換即可解出an、bn與n的關(guān)系表達(dá)式，由此決定問(wèn)題命題的成立與否。
直接計(jì)算可以得到：
[latex]\left\{\begin{array}{c}a_0=1\\b_0=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a_1=4\\b_1=4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a_2=49\\b_2=56\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a_3=676\\b_3=780\end{array}\right.[/latex]
但是，[latex]a_3\neq(4a_2-a_1)^2(since 676=26^2\neq(4\times 49-4)^2)[/latex]，這表明2樓給出的遞推公式不正確。……
26=7*4-2
97=26*4-7
362=97*4-26
還有
7=2*4-1
你的意思是：
[latex]a_0=1^2,a_1=2^2,a_{n+1}=(4\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}})^2(n\geq 1)[/latex]
[latex]a_2=49=7^2=(4\times 2-1)^2[/latex]
[latex]a_3=676=26^2=(4\times 7-2)^2[/latex]
[latex]a_4=9409=97^2=(4\times 26-7)^2[/latex]
[latex]a_5=131044=362^2=(4\times 97-26)^2[/latex]
[latex]a_6=1825201=1351^2=(4\times 362-97)^2[/latex]
[latex]a_7=25421764=5042^2=(4\times1351-362)^2[/latex]
……………………………………………………………………………………
那么如何證明等式：
[latex]a_0=1^2,a_1=2^2,a_{n+1}=(4\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}})^2(n\geq 1)[/latex]
用數(shù)學(xué)歸納法嗎
，
證明了這個(gè)遞推等式倒是可以很快證明（用數(shù)學(xué)歸納法）[latex]a_n(n\geq 0)[/latex]都是完全平方數(shù)。………………………………………………………………