無(wú)窮級(jí)數(shù)的一個(gè)命題
設(shè)
[latex]S_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}(n\geqslant 1)[/latex]
試證明：對(duì)每一個(gè)整數(shù)[latex]k>2[/latex]，存在整數(shù)m與n，使得：
[latex]S_m-S_n=\frac{1}{k}[/latex]
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試證明：對(duì)每一個(gè)整數(shù)[latex]k>2[/latex]，存在整數(shù)m與n，使得：
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京公網(wǎng)安備 11010802022153號(hào)
k是大于2的正整數(shù)。
題目要求k>2，你讓k=2啦
小弟找到一個(gè)解，直接去m=n2+3n+1,代入式子變成n+2=k，是否可證了呢？？過(guò)程取m-n=x,n+1=y,則式子變成（x+y）y/x=y+y2/x=k,不妨再取x=y2，即得到y(tǒng)+1=k，需要滿(mǎn)足的條件是：m-n=（n+1）2
m,n全為偶數(shù)，則無(wú)整數(shù)解；
m,n全為奇數(shù)或者一奇一偶，則可以存在整數(shù)解。
對(duì)于k是偶數(shù)的情形，取m=k-1，n=k/2-1就是一組整數(shù)解；
對(duì)于k是奇數(shù)的情形，暫未能完整地證明出來(lái)
，
第一次看見(jiàn)的時(shí)候k>1!可能后來(lái)又修改了!
做到此步不難，接下去要證明使此等式成立的正整數(shù)m,n不容易，存在性應(yīng)該是肯定的。
m=k方-k-1，n=k-2，代入恒成立
yes,成立。聰明