函數(shù)方程的一道競(jìng)賽題
例A（Ex0607）設(shè)[latex]a>1[/latex]，試求所有的實(shí)值函數(shù)
[latex]f,g:\mathbb{R^{+}}\to\mathbb{R^{+}}[/latex]
，使得對(duì)所有的[latex]x\in\mathbb{R^{+}}[/latex]，都有：
[latex]f(g(x))=\frac{x}{xf(x)-a}[/latex]
和
[latex]g(f(x))=\frac{x}{xg(x)-a}[/latex]
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京公網(wǎng)安備 11010802022153號(hào)
我的思路是這樣的，利用兩個(gè)式子消去參數(shù)a，直接得到f與g恒等；
于是，f[f(x)] = x/[xf(x)-a];
兩邊對(duì)x趨近于零取極限，并記為M:=lim f(x), x-->0;
若M有窮，則f(x)為一直線，且f(x)=M-x, 帶入題目要求知其并不合適；
若M無窮，則f(x)=p/x, p為一實(shí)數(shù), 代入條件知p=1+a.
PS：純解析方法仍在思考，嘗試了級(jí)數(shù)展開法，Laplace變換等，沒有做出來。。。
繼續(xù)關(guān)注求高手指點(diǎn)。。
這個(gè)函數(shù)方程組有且僅有唯一一組解，就是：
[latex]f(x)=g(x)=\frac{1+a}{x}[/latex]
證明過程比較復(fù)雜，大致思路是：構(gòu)造兩個(gè)收斂的迭代序列，用數(shù)學(xué)歸納法和夾逼定理證明這兩個(gè)序列收斂到同一個(gè)極限，從而得到問題的惟一解
，
祝福一下
謝謝