一、Euler函數(shù)[latex]\varphi(n)[/latex]的定義：
Euler函數(shù)[latex]\varphi(n)[/latex]是一個(gè)數(shù)論函數(shù)，它的定義域是正整數(shù)集[latex]\mathbb{N^{+}}[/latex]，[latex]\varphi(n)[/latex]定義為：在[latex]1,2,\cdots,n[/latex]中與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，記做[latex]\varphi(n)[/latex]。用符號(hào)表示為：

[latex]\varphi(n)=\overline{\overline{\{k\in\{1,2,\cdots,n\}|(n,k)=1\}}}[/latex]

[latex]\varphi(1)=1,\varphi(2)=1,\varphi(3)=2,\varphi(4)=2,\varphi(5)=4,\varphi(6)=2,\varphi(7)=6,\varphi(8)=4,\varphi(9)=6,\varphi(10)=4,\cdots[/latex]

[latex]\varphi(p)=p-1,\varphi(p^{\alpha})=p^{\alpha}-p^{\alpha-1}[/latex]

幫頂

沒(méi)有學(xué)過(guò)這個(gè)

目測(cè)利用質(zhì)數(shù)定理可證�；�本思路如下：
令
[latex] P_n[/latex]
為前n個(gè)質(zhì)數(shù)之積，例如：
[latex] P_1=2，P_2=2\times 3=6 .[/latex]
易知
[latex] P_n\geq 2^n[/latex]
同時(shí)，根據(jù)質(zhì)數(shù)定理，小于
[latex] P_n[/latex]
的質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)
[latex]\pi(P_n)=\frac{P_n}{\ln(P_n)},n\to \infty[/latex]
故有
[latex]\psi(P_n)=\frac{P_n}{\ln(P_n)}-n\ge \frac{P_n}{\ln(P_n)},n\to \infty .[/latex]
由此可得
[latex]\lim_{P_n\to+\infty}\frac{\psi(P_n)}{P_n}=0 .[/latex]
故
[latex]\liminf_{n\to+\infty}\frac{\psi(n)}{n}=0 .[/latex]

如果樓主采納我的證明思路，我想借此機(jī)會(huì)為化變論打個(gè)廣告。分析數(shù)論是一種粗線(xiàn)條的思路，與質(zhì)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題的精髓則在于其中的精細(xì)結(jié)構(gòu)，這種精細(xì)結(jié)構(gòu)往往與特定的化變規(guī)則有關(guān)。我所知道的大部分世界級(jí)數(shù)學(xué)難題，都可以用化變論重新表述，并且與特定化變的精細(xì)結(jié)構(gòu)有關(guān)，特別地與某系初始集的穩(wěn)定性或者泛集的覆蓋性有關(guān)。

關(guān)于質(zhì)數(shù)，用化變論思路可做如下刻畫(huà)：
令
[latex]\mathbb{N}_{[2}=\mathbb{N}-\{0,1\} ,\\
f:\mathbb{N}_{[2}\to P(\mathbb{N}_{[2}),\\
f(n)={n\times\m|m\in\mathbb{N}_{[2}} .[/latex]
則所有的合數(shù)就是[latex]\mathbb{N}_{[2}[/latex]對(duì)化變[latex]f^{\cup}[/latex]的一個(gè)泛集[latex]f^{\cup}(\mathbb{N}_{[2}).[/latex]這個(gè)泛集沒(méi)有覆蓋住其初始集（即大于1的全體自然數(shù)），漏網(wǎng)之魚(yú)就是質(zhì)數(shù)。哥德巴赫猜想和考拉茲猜想表明，某些類(lèi)型的泛集具有覆蓋性；四色定理表明，某些類(lèi)型的初始集具有穩(wěn)定性；黎曼猜想表明，某些類(lèi)型的泛集只能覆蓋住狹長(zhǎng)地帶。所有這些性質(zhì)，都取決于特定化變的特定的精細(xì)結(jié)構(gòu)，