引用回帖:

8樓: Originally posted by tigou at 2016-01-08 09:50:19
如果樓主采納我的證明思路，我想借此機(jī)會(huì)為化變論打個(gè)廣告。分析數(shù)論是一種粗線條的思路，與質(zhì)數(shù)有關(guān)的問題的精髓則在于其中的精細(xì)結(jié)構(gòu)，這種精細(xì)結(jié)構(gòu)往往與特定的化變規(guī)則有關(guān)。我所知道的大部分世界級數(shù)學(xué)難題，都 ...

令
[latex]\mathbb{N}_{[2}=\mathbb{N}-\{0,1\}[/latex]
[latex]f:\mathbb{N}_{[2}\to 2^{\mathbb{N}_{[2}},f(n)=\{n\times m:m\in\mathbb{N}_{[2}\}[/latex]
則全體合數(shù)就是泛集
[latex]f^{\cup}(\mathbb{N}_{[2})[/latex]
全體質(zhì)數(shù)就是漏網(wǎng)之魚
[latex]\mathbb{N}_{[2}-f^{\cup}(\mathbb{N}_{[2})[/latex]
，

引用回帖:

6樓: Originally posted by tigou at 2016-01-08 08:54:22
目測利用質(zhì)數(shù)定理可證�；�本思路如下：
令
P_n
為前n個(gè)質(zhì)數(shù)之積，例如：
P_1=2，P_2=2\times 3=6 .
易知
P_n\geq 2^n
同時(shí)，根據(jù)質(zhì)數(shù)定理，小于
P_n
的質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)
\pi(P_n)=\frac{P_n}{\ln(P_n)},n\to  ...

發(fā)現(xiàn)一個(gè)嚴(yán)重的錯(cuò)誤
[latex]\psi(P_n)=\pi(P_n)-n[/latex]
這一步不成立。需要更深入的討論才能證明樓主的問題。

引用回帖:

7樓: Originally posted by tigou at 2016-01-08 09:04:25
更正：
\psi(P_n)=\frac{P_n}{\ln(P_n)}-n<\frac{P_n}{\ln(P_n)},P_n\to+\infty.

論壇如果增加發(fā)帖及回復(fù)前的預(yù)覽功能會(huì)更好一些，有助于減少輸入錯(cuò)誤。謝謝。...

這一步的計(jì)算是錯(cuò)誤的，

利用1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+...發(fā)散，我們可以證明
（1-1/2）*（1-1/3）*（1-1/5）*（1-1/7）*（1-1/11）*（1-1/13）*...收斂于零，從而下極限為零。
手機(jī)碼字真蛋疼

（上接二樓）
注1 易見對于任意素?cái)?shù)[latex]p\geqslant 2[/latex]，都有：

[latex]\frac{\varphi(p^{\alpha})}{p^{\alpha}}=1-\frac{1}{p}[/latex]

所以[latex]\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\varphi(n)}{n}[/latex]不存在，但是我們有：

[latex]\lim\limits_{p\to+\infty}\frac{\varphi(p)}{p}=\lim\limits_{p\to+\infty}\frac{p-1}{p}=1[/latex]

注意到[latex]\varphi(n)\leqslant n[/latex]，因此立即得到：

[latex]\limsup\limits_{n\to+\infty}\frac{\varphi(n)}{n}=1[/latex]

（下轉(zhuǎn)16樓）

1/2+1/3+1/5+... 的發(fā)散性容易根據(jù)素?cái)?shù)定理估算證明。

注:無限乘積的收斂性等價(jià)于對應(yīng)級數(shù)的發(fā)散性

咋沒人頂我呀，哈哈

（上接13樓）
注2 設(shè)

[latex]A=\left\{\frac{\varphi(n)}{n}\left|\right.n\in\mathbb{N}^{+}\right\}[/latex]

[latex]A'=\{x\in[0,1]|\text{x is the limit point of A}\}[/latex]

則由注1知道，對任意素?cái)?shù)[latex]p\geqslant 2[/latex]，都有[latex]1-\frac{1}{p}\in A',\quad 1\in A'[/latex]，又由一樓命題知道[latex]0\in A'[/latex]，從而就有[latex]1\in A'',\quad 0\in A''[/latex]（這里[latex]A''[/latex]表示[latex]A'[/latex]的導(dǎo)集），那么，還有哪些[0,1]區(qū)間中的數(shù)屬于[latex]A'[/latex]？換句話講，[latex]A'[/latex]的結(jié)構(gòu)如何？是否一定有[latex]A'\subseteq[0,1]\cap\mathbb{Q}[/latex]？或者[latex]\frac{2}{p}\not\in A'[/latex]（[latex]p\geqslant 5[/latex]是素?cái)?shù)）？……等等，諸如此類的問題，都是值得我們下一步加以考慮的問題。