一個三角形內(nèi)心的命題
命題：設(shè)[latex]\triangle ABC[/latex]的三個頂點(diǎn)分別是A，B，C，其所對的三邊邊長分別是a，b，c，I是[latex]\triangle ABC[/latex]的內(nèi)心。
試證：[latex]IA^2+IB^2+IC^2\geqslant (abc)^{\frac{2}{3}}[/latex]
[ Last edited by Edstrayer on 2016-2-21 at 02:58 ]
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京公網(wǎng)安備 11010802022153號
設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,切點(diǎn)為E,F,G,（AEB共線，BFC共線，CGA共線）則不難用a,b,c將AE,BE,BF,FC,CG,GA分別表示出來。由r(a+b+c)=2s=(p(p-a)(p-b)(p-c))^(1/2),s為三角形面積，2p=a+b+c,再結(jié)合勾股定理可以將不等式左邊用a,b,c表示出來。作代換b+c-a=x,等等。則只需證明如下不等式（見圖）：
不等式.jpg
，
化為代數(shù)不等式的做法可能有點(diǎn)繁雜，不知有沒有其他簡便解法？
直接計算（過程也不復(fù)雜）可得：
[latex]IA^2+IB^2+IC^2=ab+bc+ca-\frac{6abc}{a+b+c}[/latex]
然后利用基本不等式就可導(dǎo)出所需要的不等式。
原來直接證明也不難，竟然可以化簡成這個樣子�？磥硎窍霃�(fù)雜了
有時換個思路，也許問題就會簡單很多呢
古典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)不打牢，現(xiàn)代數(shù)學(xué)也學(xué)不好的