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[交流] 一個(gè)三角形內(nèi)心的命題

命題：設(shè) $\triangle ABC$ 的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A，B，C，其所對(duì)的三邊邊長(zhǎng)分別是a，b，c，I是 $\triangle ABC$ 的內(nèi)心。
試證： $IA^2+IB^2+IC^2\geqslant (abc)^{\frac{2}{3}}$

[ Last edited by Edstrayer on 2016-2-21 at 02:58 ]

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Edstrayer: 金幣+7 2016-02-21 16:06:35

設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,切點(diǎn)為E,F,G,（AEB共線，BFC共線，CGA共線）則不難用a,b,c將AE,BE,BF,FC,CG,GA分別表示出來(lái)。由r(a+b+c)=2s=(p(p-a)(p-b)(p-c))^(1/2),s為三角形面積，2p=a+b+c,再結(jié)合勾股定理可以將不等式左邊用a,b,c表示出來(lái)。作代換b+c-a=x,等等。則只需證明如下不等式（見(jiàn)圖）：

不等式.jpg

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2樓2016-02-21 13:40:52

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化為代數(shù)不等式的做法可能有點(diǎn)繁雜，不知有沒(méi)有其他簡(jiǎn)便解法？

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3樓2016-02-21 13:45:20

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3樓: Originally posted by i維數(shù) at 2016-02-21 13:45:20
化為代數(shù)不等式的做法可能有點(diǎn)繁雜，不知有沒(méi)有其他簡(jiǎn)便解法？

直接計(jì)算（過(guò)程也不復(fù)雜）可得：

$IA^2+IB^2+IC^2=ab+bc+ca-\frac{6abc}{a+b+c}$

然后利用基本不等式就可導(dǎo)出所需要的不等式。

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4樓2016-02-21 16:10:19

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4樓: Originally posted by Edstrayer at 2016-02-21 16:10:19
直接計(jì)算（過(guò)程也不復(fù)雜）可得：
IA^2+IB^2+IC^2=ab+bc+ca-\frac{6abc}{a+b+c}
然后利用基本不等式就可導(dǎo)出所需要的不等式。...

原來(lái)直接證明也不難，竟然可以化簡(jiǎn)成這個(gè)樣子�？磥�(lái)是想復(fù)雜了

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5樓2016-02-22 02:32:31

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5樓: Originally posted by i維數(shù) at 2016-02-22 02:32:31
原來(lái)直接證明也不難，竟然可以化簡(jiǎn)成這個(gè)樣子。看來(lái)是想復(fù)雜了...

有時(shí)換個(gè)思路，也許問(wèn)題就會(huì)簡(jiǎn)單很多呢

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6樓2016-02-23 02:15:16

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5樓: Originally posted by i維數(shù) at 2016-02-22 02:32:31
原來(lái)直接證明也不難，竟然可以化簡(jiǎn)成這個(gè)樣子�？磥�(lái)是想復(fù)雜了...

古典數(shù)學(xué)的范疇會(huì)解就可以了，不必花太多功夫在上面，應(yīng)該把主要精力用來(lái)學(xué)習(xí)20C數(shù)學(xué).

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7樓: Originally posted by 連續(xù)統(tǒng)假說(shuō)i at 2016-02-29 08:26:50
古典數(shù)學(xué)的范疇會(huì)解就可以了，不必花太多功夫在上面，應(yīng)該把主要精力用來(lái)學(xué)習(xí)20C數(shù)學(xué).
...

古典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)不打牢，現(xiàn)代數(shù)學(xué)也學(xué)不好的

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8樓2016-03-01 01:22:53

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8樓: Originally posted by Edstrayer at 2016-03-01 01:22:53
古典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)不打牢，現(xiàn)代數(shù)學(xué)也學(xué)不好的...

每個(gè)人有自己的學(xué)習(xí)方式和習(xí)慣，只要適合您自己就好.

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9樓2016-03-03 00:45:50

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