一道平面幾何的習(xí)題
題目：如圖所示，設(shè)K是正n邊形[latex](n\geqslant 3)[/latex]，O是K的外接圓的圓心，PQ和QR是K的相鄰的兩邊，A是PQ的中點(diǎn)，B是垂直于QR的圓O的半徑OC的中點(diǎn)。試計(jì)算[latex]\angle ABC=?[/latex]
Hint：用含n的代數(shù)式表示。
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京公網(wǎng)安備 11010802022153號(hào)
說一下思路：先建系，O(0,0),R(r,0),Q(r*cos(2pi/n),r*sin(2pi/n)),P(r*cos(4pi/n),r*sin(4pi/n)).因?yàn)锳為PQ的中點(diǎn)，所以A坐標(biāo)可以求出.又C(r*cos(pi/n),r*sin(pi/n)),B為OC中點(diǎn)，所以B坐標(biāo)也可以求出。所以AB,BC,CA的長度均已知，由余弦定理可以求出cos∠ABC的值，從而求出∠ABC。
設(shè)圓半徑為1，三角形OAB中，OA=cos(90/n),OB=1/2,角AOB=180/n,運(yùn)用正弦定理得角OAB，角ABC=角AOB＋角OAB
解析法可以算出結(jié)果，但是中間的余弦定理的應(yīng)用，中間結(jié)果的化簡比較復(fù)雜
，
用正弦定理得到的結(jié)果相對(duì)簡單一些
這么簡單的題也問啊
2*pi/n啊
不好意思看錯(cuò)了啊 抱歉抱歉
在o點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，oc為x軸，y軸按右手法則確定，易知C（r，0）；所以B（r/2，0）；
OA=r*cos（pi/n）；所以A（r*cos（pi/n）*cos（2pi/n），r*cos（pi/n）*sin（2pi/n））；
所以BC向量為（r/2，0）；BA向量為（r*cos（pi/n）*cos（2pi/n）-r/2，r*cos（pi/n）*sin（2pi/n））；
所以角ABC為向量BC和向量BA的夾角（即向量BA在向量BC上的單位投影），整理即可。
初中的知識(shí)就能解答了。AB平行OP，所以角ABC等于角POC，而由于AP AQ QC CR線段是相等的，所以角POA AOQ QOC把角POC三等分了，而PQ QR是n邊行，自然能輸出每個(gè)邊對(duì)應(yīng)的角，那么角POC即可求出