Please proof by two kind of method
Exercise[latex]\hspace{0.5cm}[/latex]Please proof by two kind of method
[latex]3\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{k(k+1)}{2}\right)^3=\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^3+2\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^4[/latex]
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京公網(wǎng)安備 11010802022153號
是不是哪里寫錯啦!?
可能你把指數(shù)的位置看錯了。問題沒錯。
數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)該算一個。
果然!so sorry!
用歸納法（暫時只會這個）驗證了一下，細(xì)節(jié)就不寫了，大家都會的。
問題是：右邊式子第一項應(yīng)該是負(fù)號？
直接計算也可以，不過計算量頗大。。。
恒等式.png
@i維數(shù) 的計算功力深厚無比，大贊。
我搗鼓一個幾乎不需要計算的思路，畫蛇添足哈。
假設(shè)有m串糖葫蘆，每串上有(n+2)個山楂， 樓主可以在每串上隨便挑三顆吃，于是有
[latex]{\binom{n+2}{3}}^m[/latex]種吃法。
當(dāng)然，我們可以假定在這m串中，最大的序號等于(k+2), 其中1<=k<=n. 那么會有m種子情況。
情況一，m串的最大序號都等于(k+2), 那么每串可以挑的吃法只剩下[latex]\binom{k+1}{2}[/latex]了， 于是情況一總共有[latex]{\binom{k+1}{2}}^m[/latex]種。
情況二， m串中恰好有(m-1)串的最大序號等于(k+2). 那么先挑一串最大序號小于等于(k+1)的，該串有 [latex]\binom{k+1}{3}[/latex]種吃法，剩下的每串均有[latex]\binom{k+1}{2}[/latex]。 于是情況二總共有[latex]\binom{m}{1}\cdot \binom{k+1}{3}\cdot {\binom{k+1}{2}}^{m-1}[/latex]種。
。。。
情況j, m串中恰好有(m-j+1)串的最大序號等于(k+2), 有上面分析，這種情況下有[latex]\binom{m}{j-1}\cdot {\binom{k+1}{3}}^{j-1}\cdot {\binom{k+1}{2}}^{m-j+1}[/latex]種吃法。
換句話說，有組合恒等式
[latex]{\binom{n+2}{3}}^m=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}\binom{m}{j}{\binom{k+1}{3}}^{j} {\binom{k+1}{2}}^{m-j}[/latex]
注意到[latex]\binom{k+1}{3}=\binom{k+1}{2}\frac{k-1}{3}[/latex], 恒等式還可以寫成
[latex]{\binom{n+2}{3}}^m=\sum_{k=1}^{n}{\binom{k+1}{2}}^{m}\sum_{j=0}^{m-1}\binom{m}{j}\left(\frac{k-1}{3}\right)^{j} [/latex]
讓m=1, 就有[latex]\sum_{k=1}^n \frac{n(n+1)}{2}=\binom{n+2}{3}[/latex];
讓m=3, 就有[latex]{\binom{n+2}{3}}^3=\sum_{k=1}^{n}{\binom{k+1}{2}}^{3}\frac{k^2+k+1}{3} [/latex]
這經(jīng)過變形， 恰好就是 @Edstrayer 版主大神 的恒等式
，
真是汗顏吶。。。我的計算都是在軟件的輔助下完成的。。反倒是大神你的方法真是絕妙！這構(gòu)造組合模型的方法太難想到啦，大神你是怎么想到這樣證明的？