Please proof by two kind of method
Exercise[latex]\hspace{0.5cm}[/latex]Please proof by two kind of method
[latex]3\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{k(k+1)}{2}\right)^3=\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^3+2\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^4[/latex]
返回小木蟲查看更多
今日熱帖
京公網安備 11010802022153號
先更正一下錯誤， 當m=1, 應該是[latex]\sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2}=\binom{n+2}{3}[/latex]
@i維數(shù) 其實你走的才是正路。假如 Edstrayer 版主大神布置了考題， 你早就給出答案交卷了，我還在網上七搜八搜看哪里有答案或提示什么的
當m=1時，它是你所提到的 朱世杰 Chu identity 的特例而已。我去網上搜了Chu identity的組合說明 (個人認為組合證明不貼切，僅僅是說明而已，不牽扯計算)， 幾乎是照貓畫虎的給出了上面的答案
另外， 也不要神話組合說明，在代數(shù)學家眼中，是最顯然不過的事實而已。不信，你看另外一個證明：
[latex]{\binom{N+t}{t}}^m=\sum_{j=0}^{N} \left({\binom{j+t}{t}}^m-{\binom{j-1+t}{t}}^m\right)[/latex]
這一點花樣都沒有吧。
那么繼續(xù)， 它又等于
[latex]\sum_{j=0}^N {\binom{j+t-1}{t-1}}^m\left((1+\frac{j}{t})^m-(\frac{j}{t})^m\right)[/latex]
現(xiàn)在取 N=n-1, t=3, m=3, k=j+1, 這就是上面m=3時的那個恒等式，或者就是 @Edstrayer 版主大神 布置的練習題。
這也是本版許多大牛最喜歡的證明方式： “證明：顯然”。 你如果看了上面的過程，是否覺得顯然呢
，
求導計算，降低階次