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7樓: Originally posted by hank612 at 2016-05-30 08:22:21
由 Wallis 無(wú)限乘積 \prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2}{4k^2-1}=\frac{\pi}{2} （也可以由 Out中 x=\frac{1}{2} 一眼看出）

得出
\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{x}{4k^2-1})\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2-1}{ ...

按照這個(gè)方法Out[23]和Out[32]也是手到擒來(lái)了，那你對(duì)第一個(gè)如何看呢？

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11樓2016-05-30 12:59:53

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9樓: Originally posted by i維數(shù) at 2016-05-30 12:35:45
謝了哈！這個(gè)方法很巧妙，之所以答案不同是因?yàn)槲夷抢锏膋是從0開(kāi)始的。...

$\prod_{n=0}^{\infty}(1+\frac{x}{4n+1})(1-\frac{x}{4n+3})=\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1-(\frac{(x-1)/4}{(n+1/2)})^2}{1-(\frac{1/4}{n+1/2})^2}=\frac{\cos{\pi\frac{x-1}{4}}}{\cos{\pi\frac{1}{4}}$

這里用了 Out[36]的結(jié)果。我是先看到你的答案，才湊出的結(jié)果。

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12樓2016-05-30 13:03:53

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★ ★ ★ ★ ★
Edstrayer: 金幣+5, thank 2016-05-30 14:57:45

引用回帖:

12樓: Originally posted by hank612 at 2016-05-30 13:03:53
\prod_{n=0}^{\infty}(1+\frac{x}{4n+1})(1-\frac{x}{4n+3})=\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1-(\frac{(x-1)/4}{(n+1/2)})^2}{1-(\frac{1/4}{n+1/2})^2}=\frac{\cos{\pi\frac{x-1}{4}}}{\cos{\pi\frac{1}{4}}

這里用 ...

實(shí)在不想辛辛苦苦打了半天的字，卻變成 ”Invalid Equation“

$\prod_{n=0}^{\infty}(1+\frac{x}{4n+1})\cdot(1-\frac{x}{4n+3})$

$=\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1-(\frac{(x-1)/4}{(n+1/2)})^2}{1-(\frac{1/4}{n+1/2})^2}$

$=\frac{\cos{\frac{(x-1)\pi}{4}}}{\cos{\frac{\pi}{4}}}$

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i維數(shù)

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13樓2016-05-30 13:11:20

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13樓: Originally posted by hank612 at 2016-05-30 13:11:20
實(shí)在不想辛辛苦苦打了半天的字，卻變成 ”Invalid Equation“

\prod_{n=0}^{\infty}(1+\frac{x}{4n+1})\cdot(1-\frac{x}{4n+3})

=\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1-(\frac{(x-1)/4}{(n+1/2)})^2}{1-(\frac{1/4} ...

最后一行是

$\frac{\cos{\frac{(x-1)\pi}{4}}}{\cos{\frac{\pi}{4}}}$

居然重要的答案要重復(fù)三遍，也真是醉了。

其實(shí)，用Weierstrass 的因式分解定理，就兩個(gè)字：顯然。
等式兩邊對(duì)應(yīng)的兩個(gè)整函數(shù) （1）零點(diǎn)位置相同，（2）零點(diǎn)重?cái)?shù)相同，（3）在z=0 處取值相同，那么在整個(gè)復(fù)平面就處處相等。

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14樓2016-05-30 13:18:55

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非常巧妙的解法！非常感謝！

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15樓2016-05-30 13:37:00

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14樓: Originally posted by hank612 at 2016-05-30 13:18:55
最后一行是

\frac{\cos{\frac{(x-1)\pi}{4}}}{\cos{\frac{\pi}{4}}}

居然重要的答案要重復(fù)三遍，也真是醉了。

其實(shí)，用Weierstrass 的因式分解定理，就兩個(gè)字：顯然。
等式兩邊對(duì)應(yīng)的兩個(gè)整函數(shù) （1 ...

現(xiàn)在還沒(méi)接觸復(fù)變，以后學(xué)了再回頭來(lái)看。

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16樓2016-05-30 13:39:02

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大神，麻煩回復(fù)一個(gè)應(yīng)助貼，我好給你金幣

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17樓2016-05-30 14:09:54

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
i維數(shù): 金幣+20, ★★★★★最佳答案, 謝謝科普！ 2016-05-31 12:42:00

引用回帖:

17樓: Originally posted by i維數(shù) at 2016-05-30 14:09:54
大神，麻煩回復(fù)一個(gè)應(yīng)助貼，我好給你金幣

...

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

@i維數(shù) @Edstrayer @gold2007

無(wú)窮乘積的系統(tǒng)化處理是利用Gamma 函數(shù)，如果網(wǎng)上搜一下，幾乎所有的無(wú)窮乘積都可以用 Gamma函數(shù)積或商表出 (剩下的很大概率用 Jacobi theta function 表出)

數(shù)學(xué)很喜歡講究高大上，一勞永逸，最好是機(jī)器都能證明的方法。另一個(gè)例子是幾乎所有的組合恒等式都可以由超幾何函數(shù) 的三個(gè)（或者四個(gè)）定理通過(guò)取極限，取特殊值什么的得出，有本書(shū) A=B 就專門(mén)講這個(gè)。

當(dāng)我們還在利用各種技巧解決問(wèn)題時(shí)，說(shuō)明離問(wèn)題的實(shí)質(zhì)還差十萬(wàn)八千里。

Everything Should Be Made as Simple as Possible, But Not Simpler
數(shù)學(xué)本當(dāng)如此。

Emuch030 Gamma function Infinite Product.png

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18樓2016-05-31 06:15:47

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gold2007

捐助貴賓 (正式寫(xiě)手)

應(yīng)助: 6 (幼兒園)
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紅花: 18
帖子: 824
在線: 200.6小時(shí)
蟲(chóng)號(hào): 2348409
注冊(cè): 2013-03-12
專業(yè): 固體力學(xué)

引用回帖:

18樓: Originally posted by hank612 at 2016-05-31 06:15:47
https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

i維數(shù) Edstrayer gold2007

無(wú)窮乘積的系統(tǒng)化處理是利用Gamma 函數(shù)，如果網(wǎng)上搜一下，幾乎所有的無(wú)窮乘積都可以用 Gamma函數(shù)積或商表出 (剩下的很大概率用 ...

不會(huì)有一勞永逸的方法，這正是數(shù)學(xué)研究的魅力所在

發(fā)自小木蟲(chóng)IOS客戶端

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回復(fù)此樓

19樓2016-05-31 10:54:40

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