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北京石油化工學院2026年研究生招生接收調(diào)劑公告

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[求助] 求教幾個無窮乘積的計算已有2人參與

如圖。這里貼出一些常見的無窮乘積，能否由它們推出這四個？謝謝各位！

無窮乘積1.jpg

無窮乘積2.jpg

無窮乘積3.png

無窮乘積4.png

Gamma函數(shù)無窮乘積.jpg

雙曲余弦無窮乘積.jpg

雙曲正弦無窮函數(shù).jpg

余弦函數(shù)無窮乘積.jpg

正弦函數(shù)無窮乘積.jpg

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1樓 2016-05-06 18:00:56

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hank612

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Edstrayer: 金幣+5 2016-05-30 08:33:52

由 Wallis 無限乘積 $\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2}{4k^2-1}=\frac{\pi}{2}$ （也可以由 Out[34]中 $x=\frac{1}{2}$ 一眼看出）

得出
$\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{x}{4k^2-1})\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2-1}{4k^2}=\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{\frac{1+x}{4}}{k^2})$ , 再次利用 Out[34], 于是
$\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{x}{4k^2-1})=\frac{\pi}{2}\cdot \frac{\sin{\frac{\pi}{2}\sqrt{1+x}}}{\pi\cdot \frac{\sqrt{1+x}}{2}}$

我得到的是 $\frac{\sin{\frac{\pi\sqrt{1+x}}{2}}}{\sqrt{1+x}}$ , 和樓主 @i維數(shù) 的Out[28] 不相同

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7樓2016-05-30 08:22:21

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Edstrayer: 金幣+5, thank 2016-05-30 14:57:45

引用回帖:

12樓: Originally posted by hank612 at 2016-05-30 13:03:53
\prod_{n=0}^{\infty}(1+\frac{x}{4n+1})(1-\frac{x}{4n+3})=\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1-(\frac{(x-1)/4}{(n+1/2)})^2}{1-(\frac{1/4}{n+1/2})^2}=\frac{\cos{\pi\frac{x-1}{4}}}{\cos{\pi\frac{1}{4}}

這里用 ...

實在不想辛辛苦苦打了半天的字，卻變成 ”Invalid Equation“

$\prod_{n=0}^{\infty}(1+\frac{x}{4n+1})\cdot(1-\frac{x}{4n+3})$

$=\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1-(\frac{(x-1)/4}{(n+1/2)})^2}{1-(\frac{1/4}{n+1/2})^2}$

$=\frac{\cos{\frac{(x-1)\pi}{4}}}{\cos{\frac{\pi}{4}}}$

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i維數(shù)

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13樓2016-05-30 13:11:20

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引用回帖:

13樓: Originally posted by hank612 at 2016-05-30 13:11:20
實在不想辛辛苦苦打了半天的字，卻變成 ”Invalid Equation“

\prod_{n=0}^{\infty}(1+\frac{x}{4n+1})\cdot(1-\frac{x}{4n+3})

=\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1-(\frac{(x-1)/4}{(n+1/2)})^2}{1-(\frac{1/4} ...

最后一行是

$\frac{\cos{\frac{(x-1)\pi}{4}}}{\cos{\frac{\pi}{4}}}$

居然重要的答案要重復三遍，也真是醉了。

其實，用Weierstrass 的因式分解定理，就兩個字：顯然。
等式兩邊對應的兩個整函數(shù) （1）零點位置相同，（2）零點重數(shù)相同，（3）在z=0 處取值相同，那么在整個復平面就處處相等。

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14樓2016-05-30 13:18:55

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大神，麻煩回復一個應助貼，我好給你金幣

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17樓2016-05-30 14:09:54

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【答案】應助回帖

感謝參與，應助指數(shù) +1

除了復變里面的Weierstrass factorization Thm, 我別無他法。

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強悍的老民科

2樓2016-05-06 20:15:40

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maxman

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可以用留數(shù)定理推導出

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3樓2016-05-07 10:51:37

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2樓: Originally posted by 001gqs at 2016-05-06 20:15:40
除了復變里面的Weierstrass factorization Thm, 我別無他法。

好吧，那只能以后再來弄了。。。謝了

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4樓2016-05-07 11:26:50

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3樓: Originally posted by maxman at 2016-05-07 10:51:37
可以用留數(shù)定理推導出

留數(shù)還沒學，你還有其他方法嗎？

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5樓2016-05-07 11:27:58

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maxman

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6樓2016-05-07 15:11:05

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引用回帖:

7樓: Originally posted by hank612 at 2016-05-30 08:22:21
由 Wallis 無限乘積 \prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2}{4k^2-1}=\frac{\pi}{2} （也可以由 Out中 x=\frac{1}{2} 一眼看出）

得出
\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{x}{4k^2-1})\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2-1}{ ...

您和樓主對于無窮級數(shù)的理解令人仰望。

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8樓2016-05-30 08:32:52

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謝了哈！這個方法很巧妙，之所以答案不同是因為我那里的k是從0開始的。

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9樓2016-05-30 12:35:45

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8樓: Originally posted by gold2007 at 2016-05-30 08:32:52
您和樓主對于無窮級數(shù)的理解令人仰望。
...

過獎了。。。hank612大神確實是功力深厚，我就只會提幾個問題罷了

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10樓2016-05-30 12:42:10

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