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[求助]
求證:f(x)=0 已有1人參與
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| 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,+∞)上可導(dǎo),f(a)=0,且當(dāng)x≥a時(shí),有|f'(x)|≤|f(x)|.求證:f(x)=0. |
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3樓2016-09-27 12:59:35
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【答案】應(yīng)助回帖
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
hylpy: 金幣+10, ★★★★★最佳答案, 很贊。要是用Latexe寫(xiě)出就更好了 2016-09-27 09:16:26
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| 在[a,a+1/2]上對(duì)f用拉格朗日中值定理，可以得到對(duì)任意x屬于[a,a+1/2]，|f(x)|=|f(x)-f(a)|=|(x-a)f'(c1)|<=|f'(c1)|/2<=|f(c1)|/2,得到|f(x)|<=|f(cn)|/2^n,其中a<cn<...<c1<x，令n趨于無(wú)窮大，因?yàn)閒可導(dǎo)，所以必有界，由此可知f恒為0.由f(a+1/2)=0,用上面同樣的證法，可知f在[a+1/2,a+1]上恒為0，如此下去，知f恒為0. |
2樓2016-09-27 00:03:06
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4樓2016-09-27 13:08:58
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5樓2016-09-27 13:10:54
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