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[求助] 對一類線性遞推數(shù)列極限的猜想

如圖。m=1時我驗證過了，這個猜想是正確的，那么m>=2的情形要如何證明或者有什么反例？如果可以證明 $\lim _{n\to\infty}a_n$ 存在，那么這個猜想就是正確的。請各位大神解答，謝謝！

對一類線性遞推數(shù)列極限的猜想.png

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1樓 2016-11-09 13:15:54

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hank612

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我不知道如何求極限, 但極限的存在是非常明顯地.

讓 $q_i=\frac{p_i}{\sum_{k=0}^m p_k} >0$ 且和為1. 那么由于 $a_{n+m+1}=\sum_{k=0}^m q_k a_{n+k}$ 是 $a_n,a_{n+1},\dots,a_{n+m}$ 的凸組合, 即下一個元素介于前面(m+1)個元素的最大值和最小值之間, 所以 $\mbox{min}_{n\leq i \leq n+m} a_i$ 是關(guān)于n的單調(diào)遞增(不一定嚴(yán)格)的, 同樣的,
$\mbox{max}_{n\leq i \leq n+m} a_i$ 是關(guān)于n的單調(diào)遞減(不一定嚴(yán)格)的. 于是二者都存在極限, 分別記為A和B.  如果A=B, 就是你想要的.

如果 A<B,  那么每一個新生成的元素滿足
$a_{n+m+1}-\mbox{min}_{n\leq i \leq n+m} a_i  \geq (min_{0\leq i \leq m} q_i)\cdot (B-A)$ . 當(dāng)n充分大時, 就會有每一個新元素都比A 大一個固定的常數(shù). 那么, 連續(xù)取(m+1)個這樣的新元素, 它們的最小值無論如何也不會趨于A, 于是矛盾.

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We_must_know. We_will_know.

2樓2016-11-18 08:49:05

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引用回帖:

2樓: Originally posted by hank612 at 2016-11-18 08:49:05
我不知道如何求極限, 但極限的存在是非常明顯地.

讓q_i=\frac{p_i}{\sum_{k=0}^m p_k} >0且和為1. 那么由于 a_{n+m+1}=\sum_{k=0}^m q_k a_{n+k}是 a_n,a_{n+1},\dots,a_{n+m}的凸組合, 即下一個元素介于前面 ...

謝謝hank612大神！倒數(shù)第二行那里沒看懂，可否再說詳細(xì)一點？如果已證得極限存在，那么極限值也就可以求出來了，因為由遞推式可以看出 $\sum _{k=0}^m{\sum _{j=0}^k{p_ja_{n+k}}}$ 對任意自然數(shù) $n$ 均為常數(shù)，最后令 $n\to\infty$ 即可求出極限值。

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3樓2016-11-19 00:55:58

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引用回帖:

3樓: Originally posted by i維數(shù) at 2016-11-19 00:55:58
謝謝hank612大神！倒數(shù)第二行那里沒看懂，可否再說詳細(xì)一點？如果已證得極限存在，那么極限值也就可以求出來了，因為由遞推式可以看出\sum _{k=0}^m{\sum _{j=0}^k{p_ja_{n+k}}}對任意自然數(shù)n均為常數(shù)，最后令n\to ...

設(shè) $q_i$ 中最小值為 q(>0), 設(shè) $a_n,a_{n+1},\dots,a_{n+m}$ 中最大值是b, 最小值是a, 那么 b>=B>A>=a.

并且 $a_{n+m+1}-a=\sum_{0\leq i \leq m} q_i (a_{n+i}-a) \geq q(b-a)\geq q(B-A)$ .

話說回來, 你觀察到的那個恒等式真是牛B, 真不知道你是怎么想到的.

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4樓2016-11-19 01:27:14

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4樓: Originally posted by hank612 at 2016-11-19 01:27:14
設(shè)q_i 中最小值為 q(>0), 設(shè) a_n,a_{n+1},\dots,a_{n+m}中最大值是b, 最小值是a, 那么 b>=B>A>=a.

并且 a_{n+m+1}-a=\sum_{0\leq i \leq m} q_i (a_{n+i}-a) \geq q(b-a)\geq q(B-A).

話說回來 ...

懂了，非常感謝哈！其實那個恒等式是我在做題中受到啟發(fā)得出來的，那題中 $m=1$ , $p_0=p_1=1$ ，從而想到更一般的情況可能也會有類似的恒等式。這都不算啥，和大神你的分析功力比起來這些都是小菜一碟~

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5樓2016-11-19 14:35:55

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